Abi 2016 Analysis I Teil B: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 28. März 2018, 14:51 Uhr

Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2016 Analysis I - Teil B

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Aufgabe 1

Gegeben ist die in IR definierte Funktion $f:x \mapsto e^{\frac{1}{2}x}+e^{-\frac{1}{2}x}$ . Der Graph von f wird mit G_f bezeichnet.

a) Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes von G_f mit der y-Achse und begünden Sie, dass G_f oberhalb der x-Achse verläuft.

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b) Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von G_f sowie das Verhalten von f für x→-∞ und für x→+∞.

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c) Zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung f von f die Beziehung $f''(x)=\frac{1}{4} \cdot f(x)$ für x∈IR gilt. Weisen Sie nach, dass G_f linksgekrümmt ist. (Zur Kontrolle $f'(x)= \frac{1}{2}\cdot (e^{\frac{1}{2}x}- e^{-\frac{1}{2}x})$ )

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d) Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von G_f.

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e)Berechnen Sie die Steigung der Tangente g an G_f im Punkt P(2/f(2)) auf eine Dezimale genau. Zeichnen Sie den Punkt P und die Gerade g in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf das Folgende:-4≤x≤4, -1≤y≤9).

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f) Berechnen Sie f (4) , im Hinblick auf eine der folgenden Aufgaben auf zwei Dezimalen genau, und zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse G_f im Bereich -4≤x≤4 in das Koordinatensystem aus Aufgabe 1e ein.

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g) Zeigen Sie durch Rechnung, dass für x ∈ IR die Beziehung $\frac{1}{4} \cdot [f(x)]^{2}-[f'(x)]^{2} =1$ gilt.

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Die als Kurvenlänge L_a;b bezeichnete Länge des Funktionsgraphen von f zwischen den Punkten (a/f(a)) und (b/f(b)) mit a<b lässt sich mithilfe der Formel $L_{a;b}= \int_{a}^{b} \sqrt{1+[f'(x)]^{2}} \,dx$ berechnen.

h)Bestimmen Sie mithilfe der Beziehung aus Aufgabe 1g die Kurvenlänge L_0;b des Graphen von f zwischen den Punkten (0/f(0)) und (b/f(b)) mit b>0.

(Ergebnis: $L_{0;b}= e^{\frac{1}{2}b}-e^{-\frac{1}{2}b}$ )

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Aufgabe 2

Die Enden eines Seils werden an zwei vertikalen Masten, die 8,00 m voneinander entfernt sind, in gleicher Höhe über dem Erdboden befestigt. Der Graph G_f aus Aufgabe 1 beschreibt im Bereich -4 ≤ x ≤ 4 modellhaft den Verlauf des Seils, wobei die Fußpunkte F₁ und F₂ der Masten durch die Punkte (-4/0) bzw. (4/0) dargestellt werden (vgl. Abbildung). Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität.

a) Der Höhenunterschied zwischen den Aufhängepunkten und dem tiefsten Punkt des Seils wird als Durchhang bezeichnet. Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells den Durchhang des Seils auf Zentimeter genau.

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b) Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells die Größe des Winkels, den das Seil mit Mast 2 im Aufhängepunkt einschließt, sowie mithilfe der Kurvenlänge aus Aufgabe 1h die Länge des zwischen den Masten hängenden Seils auf Zentimeter genau.

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Der Graph von f soll durch eine Parabel näherungsweise dargestellt werden. Dazu wird die in IR definierte quadratische Funktion q betrachtet, deren Graph den Scheitelpunkt (0/2) hat und durch den Punkt (4/f(4)) verläuft.

c) Ermitteln Sie den Term q(x) der Funktion q, ohne dabei zu runden.

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d) Für jedes x∈ ]0;4[ wird der Abstand der vertikal übereinander liegenden Punkte (x/q(x)) und (x/(f(x)) der Graphen von q bzw. f betrachtet, wobei in diesem Bereich q(x)>f(x) gilt. Der größte dieser Abstände ist ein Maß dafür, wie gut die Parabel den Graphen G_f im Bereich 0 < x < 4 annähert. Beschreiben Sie die wesentlichen Schritte, mithilfe derer man diesen größten Abstand rechnerisch bestimmen kann.

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 b)
-Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von G<sub>f</sub> sowie das Verhalten von f für x→-∞ x→+∞.
+Ermitteln Sie das Symmetrieverhalten von G<sub>f</sub> sowie das Verhalten von f für x→-∞ und für x→+∞.
 :{{Lösung versteckt|1=
 [[Bild:ABI2016_AI_TeilB_1b_Lös.jpg|700px]]
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 c)
-Zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung f'' von f die Beziehung <math>f''(x)=\frac{1}{4}*f(x)</math> für x ∈ IR gilt. Weisen Sie nach, dass G<sub>f</sub> linksgekrümmt ist.
+Zeigen Sie, dass für die zweite Ableitung f'' von f die Beziehung <math>f''(x)=\frac{1}{4} \cdot f(x)</math> für x∈IR gilt. Weisen Sie nach, dass G<sub>f</sub> linksgekrümmt ist. (Zur Kontrolle <math> f'(x)= \frac{1}{2}\cdot (e^{\frac{1}{2}x}- e^{-\frac{1}{2}x}) </math> )
 :{{Lösung versteckt|1=
 [[Bild:ABI2016_AI_TeilB_1c_Lös.jpg|700px]]
 }}
-d)
+d) Bestimmen Sie Lage und Art des Extrempunkts von G<sub>f</sub>.
 :{{Lösung versteckt|1=
 [[Bild:ABI2016_AI_TeilB_1d_Lös.jpg|700px]]
 }}
-e)
+e)Berechnen Sie die Steigung der Tangente g an G<sub>f</sub> im Punkt P(2/f(2)) auf eine Dezimale genau. Zeichnen Sie den Punkt P und die Gerade g in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf das Folgende:-4≤x≤4, -1≤y≤9).
 :{{Lösung versteckt|1=
 [[Bild:ABI2016_AI_TeilB_1e_Lös.jpg|700px]]
 }}
-f)
+f) Berechnen Sie f (4) , im Hinblick auf eine der folgenden Aufgaben auf zwei Dezimalen genau, und zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse G<sub>f</sub> im Bereich -4≤x≤4 in das Koordinatensystem aus Aufgabe 1e ein.
 :{{Lösung versteckt|1=
 [[Bild:ABI2016_AI_TeilB_1f_Lös.jpg|700px]]
 }}
-g)
+g) Zeigen Sie durch Rechnung, dass für x ∈ IR die Beziehung <math> \frac{1}{4} \cdot [f(x)]^{2}-[f'(x)]^{2} =1 </math> gilt.
 :{{Lösung versteckt|1=
 [[Bild:ABI2016_AI_TeilB_1g_Lös.jpg|700px]]
 }}
+Die als Kurvenlänge L<sub>a;b</sub> bezeichnete Länge des Funktionsgraphen von f zwischen den Punkten (a/f(a)) und (b/f(b)) mit a<b lässt sich mithilfe der Formel  <math>L_{a;b}= \int_{a}^{b} \sqrt{1+[f'(x)]^{2}} \,dx</math> berechnen.
+h)Bestimmen Sie mithilfe der Beziehung aus Aufgabe 1g die Kurvenlänge L<sub>0;b</sub> des Graphen von f zwischen den Punkten (0/f(0)) und (b/f(b)) mit b>0.
+(Ergebnis: <math>L_{0;b}= e^{\frac{1}{2}b}-e^{-\frac{1}{2}b}</math>)
-h)
 :{{Lösung versteckt|1=
 [[Bild:ABI2016_AI_TeilB_1h_Lös.jpg|700px]]
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 ;Aufgabe 2
-a)
+[[Bild:ABI2016_AI_TeilB_2.png|right|250px]]
+Die Enden eines Seils werden an zwei vertikalen Masten, die 8,00 m voneinander entfernt sind, in gleicher Höhe über dem Erdboden befestigt. Der Graph G<sub>f</sub> aus Aufgabe 1 beschreibt im Bereich -4 ≤ x ≤ 4 modellhaft den Verlauf des Seils, wobei die Fußpunkte F<sub>1</sub> und F<sub>2</sub> der Masten durch die Punkte (-4/0) bzw. (4/0) dargestellt werden (vgl. Abbildung). Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht einem Meter in der Realität. <br />
+a) Der Höhenunterschied zwischen den Aufhängepunkten und dem tiefsten Punkt des Seils wird als Durchhang bezeichnet. Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells den Durchhang des Seils auf Zentimeter genau.
 :{{Lösung versteckt|1=
 [[Bild:ABI2016_AI_TeilB_2a_Lös.jpg|700px]]
 }}
-b)
+b) Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells die Größe des Winkels, den das Seil mit Mast 2 im Aufhängepunkt einschließt, sowie mithilfe der Kurvenlänge aus Aufgabe 1h die Länge des zwischen den Masten hängenden Seils auf Zentimeter genau.
 :{{Lösung versteckt|1=
 [[Bild:ABI2016_AI_TeilB_2b_Lös.jpg|700px]]
 }}
-c)
+Der Graph von f soll durch eine Parabel näherungsweise dargestellt werden. Dazu wird die in IR definierte quadratische Funktion q betrachtet, deren Graph den Scheitelpunkt (0/2) hat und durch den Punkt (4/f(4)) verläuft.
+c) Ermitteln Sie den Term q(x)  der Funktion q, ohne dabei zu runden.
 :{{Lösung versteckt|1=
 [[Bild:ABI2016_AI_TeilB_2c_Lös.jpg|700px]]
 }}
-d)
+d) Für jedes x∈ ]0;4[ wird der Abstand der vertikal übereinander liegenden Punkte (x/q(x)) und (x/(f(x)) der Graphen von q bzw. f betrachtet,
+wobei in diesem Bereich q(x)>f(x) gilt. Der größte dieser Abstände ist ein Maß dafür, wie gut die Parabel den Graphen G<sub>f</sub> im Bereich 0 < x < 4
+annähert. Beschreiben Sie die wesentlichen Schritte, mithilfe derer man diesen größten Abstand rechnerisch bestimmen kann.
 :{{Lösung versteckt|1=
 [[Bild:ABI2016_AI_TeilB_2d_Lös.jpg|700px]]

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