Abi 2015 Analysis II Teil B: Unterschied zwischen den Versionen

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;Aufgabe 1
 
;Aufgabe 1
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Gegeben ist die Funktion f mit <math> f(x)=\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+3}</math> und Dafinitionsbereich D<sub>f</sub> = IR \ {-3;-1}. Der Graph von f wird mit G<sub>f</sub> bezeichnet.
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Der Graph G<sub>f</sub> einer in IR definierten Funktion <math>f : x \mapsto ax^4+bx^3</math>mit a,b ∈ IR besitzt im Punkt O(0|0) einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente.
  
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a) Zeigen Sie, dass f(x) zu jedem der drei folgenden Terme äquivalent ist:
 
  
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<math> \frac{2}{(x+1)(x+3)} ; \frac{2}{x^2+4x+3} ; \frac{1}{0,5*(x+2)^2-0,5}</math>
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a) W  (1|1) ist ein weiterer Wendepunkt von G<sub>f</sub>. Bestimmen Sie mithilfe dieser Information die Werte von a und b.
  
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''(Ergebnis: a = 1, b = -2)''
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:{{Lösung versteckt|1=
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}}
  
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b) Begründen Sie, dass die x-Achse horizontale Asymptote von G<sub>f</sub> ist, und geben Sie die Gleichung der vertikalen Asymptoten von G<sub>f</sub> an. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes von G<sub>f</sub> mit der y-Achse.
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b)  
  
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Abbildung 1 zeigt den Graph der in IR definerten Funktion p:x > 0,5*(x+2)<sup>2</sup> -0,5, die die Nullstelle x=-3 und x=-1 hat.  
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:{{Lösung versteckt|1=
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Für x ∈ D<sub>f</sub> gilt <math>f(x)=\frac{1}{p(x)}</math>.
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c)
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Zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse G<sub>f</sub> sowie die Gerade g in ein Koordinatensystem ein. Ge
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ben Sie die Gleichung der Geraden g an.
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<math>\frac{1-x}{x^2}</math>
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:{{Lösung versteckt|1=
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'''GRAPHIK EINFÜGEN'''
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d)  
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c) Gemäß der Quotientenregel gilt für die Ableitung f' und p' die Beziehung <math> f'(x)=-\frac{p'(x)}{(p(x))^2}</math> für x ∈ D<sub>f</sub>
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Zeigen Sie unter Verwendung dieser Beziehung und ohne Berechnung von f'(x) und p'(x), dass x=-2 einzige Nullstelle von f' ist und dass G<sub>f</sub> in ]-3;-2[ streng monoton steigend sowie in ]-2;-1[ streng monoton fallend ist. Geben Sie Lage und Art des Extrempunktes von G<sub>f</sub> an.
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d) Berechnen Sie f(-5) und f(-1,5) und skizzieren Sie G<sub>f</sub> unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in Abbildung 1.
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:{{Lösung versteckt|1=
 
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;Aufgabe 2
 
;Aufgabe 2
  
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Gegeben ist die Funktion <math> h(x)= \frac{3}{e^{x+1} -1}</math> mit Definitionsbereich D<sub>h</sub> = ]-1;+∞[. Abbildung 2 zeigt den Graph G<sub>h</sub> von h.
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;Aufgabe 4
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An einer Messstation wurde über einen Zeitraum von 10 Stunden die Anzahl
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der Pollen in einem Kubikmeter Luft ermittelt. Dabei kann die Anzahl der Pollen
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in einem Kubikmeter Luft zum Zeitpunkt t (in Stunden nach Beginn der
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Messung) durch die Gleichung      2 n t 3t 60t 500 beschrieben werden.
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a) Bestimmen Sie die mittlere Änderungsrate der Anzahl der Pollen in
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einem Kubikmeter Luft während der ersten beiden Stunden der Messung.
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b) Ermitteln Sie den Zeitpunkt nach Beginn der Messung, zu dem die
+
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momentane Änderungsrate der Anzahl der Pollen in einem Kubikmeter
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Luft  1
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h 30 beträgt.
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:{{Lösung versteckt|1=
 
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Aktuelle Version vom 26. Juli 2017, 08:13 Uhr


Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2015
Analysis II - Teil B


Download der Originalaufgaben - Lösung zum Ausdrucken


Aufgabe 1

Der Graph Gf einer in IR definierten Funktion f : x \mapsto ax^4+bx^3mit a,b ∈ IR besitzt im Punkt O(0|0) einen Wendepunkt mit waagrechter Tangente.


a) W (1|1) ist ein weiterer Wendepunkt von Gf. Bestimmen Sie mithilfe dieser Information die Werte von a und b.

(Ergebnis: a = 1, b = -2)

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b)

700px

c) Zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse Gf sowie die Gerade g in ein Koordinatensystem ein. Ge ben Sie die Gleichung der Geraden g an. \frac{1-x}{x^2}

\frac{2}{x^2-5}

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d)

700px


Aufgabe 2

a)

350px
700px

b)

700px


Aufgabe 3
350px

a)

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b)

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c)

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d)

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