Abi 2013 Analysis I Teil B: Unterschied zwischen den Versionen

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Zeigen Sie, dass <math> A(u)=2-2e^{-0,5u^{2}} </math> gilt. Geben Sie <math>  \lim_{u\to\infty} A(u) </math> an und deuten Sie das Ergebnis geometrisch.
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Berechnen Sie die x-Koordinaten der drei Schnittpunkte der Geraden h mit G<sub>f</sub> und zeichnen Sie die Gerade in Abbildung 2 ein. Berechnen Sie B.<br />
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:: (Teilergebnis x-Koordinaten eines Schnittpunkts: 2)
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Die Anzahl der Kinder, die eine Frau im Laufe ihres Lebens durchschnittlich zur Welt bringt, wird durch eine sogenannte Geburtenziffer angegeben, die jedes Jahr statistisch ermittelt wird.
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Die Funktion <math> g_{1,4}: x \mapsto 2x \cdot e^{-0,5x^{2}}+1,4 </math> beschreibt für x≥0 modellhaft die zeitliche Entwicklung der Geburtenziffer in einem europäischen Land. Dabei ist x die seit dem Jahr 1955 vergangene Zeit in Jahrzehnten (d. h. x = 1 entspricht dem Jahr 1965) und g<sub>1,4</sub>(x) die Geburtenziffer. Damit die Bevölkerungszahl in diesem Land langfristig näherungsweise konstant bleibt, ist dort eine Geburtenziffer von etwa 2,1 erforderlich.<br />
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Zeichnen Sie den Graphen von g<sub>1,4</sub> in Abbildung 2 ein und ermitteln Sie graphisch mit angemessener Genauigkeit, in welchem Zeitraum die Geburtenziffer mindestens 2,1 beträgt.
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Welche künftige Entwicklung der Bevölkerungszahl ist auf der Grundlage des Modells zu erwarten? Begründen Sie Ihre Antwort.
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Im betrachteten Zeitraum gibt es ein Jahr, in dem die Geburtenziffer am stärksten abnimmt. Geben Sie mithilfe von Abbildung 2 einen Nähe- rungswert für dieses Jahr an. Beschreiben Sie, wie man auf der Grundla- ge des Modells rechnerisch nachweisen könnte, dass die Abnahme der Geburtenziffer von diesem Jahr an kontinuierlich schwächer wird.
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Aktuelle Version vom 15. April 2018, 15:09 Uhr


Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2013
Analysis I - Teil B


Download der Originalaufgaben - Lösung zum Ausdrucken


Aufgabe 1

Gegeben ist die in IR definierte Funktion f:x \mapsto 2x \cdot e^{-0,5x^{2}} . Abbildung 2 zeigt den Graphen Gf von f.

ABI2013 AI TeilB 1.png

a) Weisen Sie rechnerisch nach, dass Gf punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist, und machen Sie anhand des Funktionsterms von f plausibel, dass \lim_{x\to\infty} f(x)=0 gilt.

ABI2013 AI TeilB 1a Lös.jpg

b)Bestimmen Sie rechnerisch Lage und Art der Extrempunkte von Gf.

zur Kontrolle f':x= 2e^{-0,5x^{2}} \cdot (1-x^{2}) y-Koordinate des Hochpunkts: \frac{2}{\sqrt{e}}

ABI2013 AI TeilB 1b Lös.jpg

ABI2013 AI TeilB 1b Lös2.jpg

c) Berechnen Sie die mittlere Änderungsrate mS von f im Intervall [0,5; 0,5] sowie die lokale Änderungsrate mT von f an der Stelle x = 0 . Berechnen Sie, um wie viel Prozent mS von mT abweicht.

ABI2013 AI TeilB 1c Lös.jpg

d) Der Graph von f, die x-Achse und die Gerade x = u mit u ∈ IR+ schließen für 0 ≤ x ≤ u ein Flächenstück mit dem Inhalt A(u) ein. Zeigen Sie, dass A(u)=2-2e^{-0,5u^{2}} gilt. Geben Sie \lim_{u\to\infty} A(u) an und deuten Sie das Ergebnis geometrisch.


ABI2013 AI TeilB 1d Lös.jpg

e) Die Ursprungsgerade h mit der Gleichung y=\frac{2}{e^{2}} \cdot x schließt mit Gf für x≥0 ein Flächenstück mit dem Inhalt B vollständig ein. Berechnen Sie die x-Koordinaten der drei Schnittpunkte der Geraden h mit Gf und zeichnen Sie die Gerade in Abbildung 2 ein. Berechnen Sie B.

(Teilergebnis x-Koordinaten eines Schnittpunkts: 2)

ABI2013 AI TeilB 1e Lös.jpg

ABI2013 AI TeilB 1e Lös2.jpg




Im Folgenden wird die Schar der in IR definierten Funktionen gc(x) = f(x)+c mit c ∈ IR betrachtet.

2 a)Geben Sie in Abhängigkeit von c ohne weitere Rechnung die Koordinaten des Hochpunkts des Graphen von gc sowie das Verhalten von gc für x→+∞ an.

ABI2013 AI TeilB 2a Lös.jpg

b)Die Anzahl der Nullstellen von gc hängt von c ab. Geben Sie jeweils einen möglichen Wert von c an, sodass gilt:

α) gc hat keine Nullstelle.
β) gc hat genau eine Nullstelle.
γ) gc hat genau zwei Nullstellen.
ABI2013 AI TeilB 2b Lös.jpg

c) Begründen Sie für c > 0 anhand einer geeigneten Skizze, dass
\int_{0}^{3} g_{c}(x)\,dx = \int_{0}^{3} f(x)\,dx + 3c gilt.

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3 Die Anzahl der Kinder, die eine Frau im Laufe ihres Lebens durchschnittlich zur Welt bringt, wird durch eine sogenannte Geburtenziffer angegeben, die jedes Jahr statistisch ermittelt wird. Die Funktion g_{1,4}: x \mapsto 2x \cdot e^{-0,5x^{2}}+1,4 beschreibt für x≥0 modellhaft die zeitliche Entwicklung der Geburtenziffer in einem europäischen Land. Dabei ist x die seit dem Jahr 1955 vergangene Zeit in Jahrzehnten (d. h. x = 1 entspricht dem Jahr 1965) und g1,4(x) die Geburtenziffer. Damit die Bevölkerungszahl in diesem Land langfristig näherungsweise konstant bleibt, ist dort eine Geburtenziffer von etwa 2,1 erforderlich.

a) Zeichnen Sie den Graphen von g1,4 in Abbildung 2 ein und ermitteln Sie graphisch mit angemessener Genauigkeit, in welchem Zeitraum die Geburtenziffer mindestens 2,1 beträgt.

ABI2013 AI TeilB 3a Lös.jpg

b) Welche künftige Entwicklung der Bevölkerungszahl ist auf der Grundlage des Modells zu erwarten? Begründen Sie Ihre Antwort.

ABI2013 AI TeilB 3b Lös.jpg

c) Im betrachteten Zeitraum gibt es ein Jahr, in dem die Geburtenziffer am stärksten abnimmt. Geben Sie mithilfe von Abbildung 2 einen Nähe- rungswert für dieses Jahr an. Beschreiben Sie, wie man auf der Grundla- ge des Modells rechnerisch nachweisen könnte, dass die Abnahme der Geburtenziffer von diesem Jahr an kontinuierlich schwächer wird.

ABI2013 AI TeilB 3c Lös.jpg


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