Abi 2015 Analysis I Teil B: Unterschied zwischen den Versionen

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Gegeben ist die Funktion f mit <math>f(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+3}</math> und Definitionsbereich D<sub>f</sub> = IR\{-3; -1}. Der Graph vonf wird mit G<sub>f</sub>  bezeichnet.
 
a) Zeigen Sie, dass f(x) zu jedem der drei folgenden Terme äquivalent ist:
 
a) Zeigen Sie, dass f(x) zu jedem der drei folgenden Terme äquivalent ist:
  
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b) Begründen Sie, dass die x-Achse horizontale Asymptote von G<sub>f</sub> ist, und geben Sie die Gleichungen der vertikalen Asymptoten von G<sub>f</sub> an. Be-
 
b) Begründen Sie, dass die x-Achse horizontale Asymptote von G<sub>f</sub> ist, und geben Sie die Gleichungen der vertikalen Asymptoten von G<sub>f</sub> an. Be-
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stimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von G<sub>f</sub> mit der y-Achse. Abbildung 1 zeigt den Graphen der in IR definierten Funktion <math>p : x \mapsto 0,5\cdot(x+2)^2-0,5</math>, die die Nullstellen <math>x=-3</math> und <math>x=-1</math> hat.
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stimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von G<sub>f</sub> mit der y-Achse. Abbildung 1 zeigt den Graphen der in IR definierten Funktion <math>p : x \mapsto 0,5\cdot(x+2)^2-0,5</math>, die die Nullstellen x = -3 und x = -1 hat.
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Für  {{Lösung versteckt|1=
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c) Gemäß der Quotientenregel gilt für die Ableitungen f' und p' die Beziehung: <math>f'(x)=-\frac{p'(x)}{(p(x))^2}</math>
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für x ∈ D<sub>f</sub>.
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Berechnung von fx und px, dass x2 einzige Nullstelle von f ist und dass fG in 3;  2 streng monoton steigend sowie in 2;  1 streng monoton
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fallend ist. Geben Sie Lage und Art des Extrempunkts von f G an.
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Zeigen Sie unter Verwendung dieser Beziehung und ohne Berechnung von f'(x) und p'(x), dass x = -2 einzige Nullstelle von f' ist und dass G<sub>f</sub> in ]-3; -2[ streng monoton steigend sowie in ]-2;-1[ streng monoton fallend ist. Geben Sie Lage und Art des Extrempunkts von G<sub>f</sub> an.
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Gegeben ist die Funktion <math> h(x)= \frac{3}{e^{x+1} -1}</math> mit Definitionsbereich D<sub>h</sub> = ]-1;+∞[. Abbildung 2 zeigt den Graph G<sub>h</sub> von h.
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a)
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Begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass <math>\lim_{x\to\infty}h(x)= 0</math> gilt. Zeigen Sie rechnerisch für x ∈ D<sub>h</sub>, dass für die Ableitung h′ von h gilt: h′(x)<0.
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Gegeben ist ferner die in D<sub>h</sub> definierte Integralfunktion  '''H<sub>0</sub>:'''<math>\int_{x}^{0} h (t)\,dt</math> .
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Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass folgende Aussagen wahr sind:
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Geben Sie die Nullstelle von H<sub>0</sub> an und bestimmen Sie näherungsweise mithilfe von Abbildung 2 die Funktionswerte H<sub>0</sub> (-0,5) sowie H<sub>0</sub> (3). Skizzieren Sie in Abbildung 2 den Graphen von H<sub>0</sub> im Bereich -0,5 ≤ x ≤ 3.
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;Aufgabe 3
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In einem Labor wird ein Verfahren zur Reinigung von mit Schadstoffen kontaminiertem Wasser getestet. Die Funktion h aus Aufgabe 2 beschreibt für x ≥ 0 modellhaft die zeitliche Entwicklung des momentanen Schadstoffabbaus in einer bestimmten Wassermenge. Dabei bezeichnet h(x) die momentane Schadstoffabbaurate in Gramm pro Minute und x die seit Beginn des Reinigungsvorgangs
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ergangene Zeit in Minuten.
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a)
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Bestimmen Sie auf der Grundlage des Modells den Zeitpunkt x, zu dem die momentane Schadstoffabbaurate auf 0,01 Gramm pro Minute zurückgegangen ist. Die in IR \ { -3; -1 } definierte Funktion <math> k(x) = 3 \cdot (\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+3}) -0,2 </math> stellt im Bereich -0,5 ≤ x ≤ 2 eine gute Näherung für die Funktion h dar.
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Berechnen Sie einen Näherungswert für <math>\int_{0}^{1} h (x)\,dx</math>, indem Sie den Zusammenhang <math>\int_{0}^{1} h (x)\,dx</math> '''≈''' <math>\int_{0}^{1} k (x)\,dx</math>  verwenden. Geben Sie die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang an.
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Aktuelle Version vom 27. Juli 2017, 14:55 Uhr



Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2015
Analysis I - Teil B


Download der Originalaufgaben - Lösung zum Ausdrucken


Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+3} und Definitionsbereich Df = IR\{-3; -1}. Der Graph vonf wird mit Gf bezeichnet. a) Zeigen Sie, dass f(x) zu jedem der drei folgenden Terme äquivalent ist:

\frac{2}{(x+1)(x+3)} ; \frac{2}{x^2+4x+3} ; \frac{1}{0,5\cdot (x+2)^2-0,5}

ABI2017 AI TeilB 1a Lös.jpg

b) Begründen Sie, dass die x-Achse horizontale Asymptote von Gf ist, und geben Sie die Gleichungen der vertikalen Asymptoten von Gf an. Be- stimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunkts von Gf mit der y-Achse. Abbildung 1 zeigt den Graphen der in IR definierten Funktion p : x \mapsto 0,5\cdot(x+2)^2-0,5, die die Nullstellen x = -3 und x = -1 hat.

Für x ∈ Df gilt f(x)=\frac{1}{p(x)}.

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ABI2017 AI TeilB 1b Lös.jpg

c) Gemäß der Quotientenregel gilt für die Ableitungen f' und p' die Beziehung: f'(x)=-\frac{p'(x)}{(p(x))^2} für x ∈ Df.

Zeigen Sie unter Verwendung dieser Beziehung und ohne Berechnung von f'(x) und p'(x), dass x = -2 einzige Nullstelle von f' ist und dass Gf in ]-3; -2[ streng monoton steigend sowie in ]-2;-1[ streng monoton fallend ist. Geben Sie Lage und Art des Extrempunkts von Gf an.

ABI2017 AI TeilB 1c Lös.jpgG

d) Berechnen Sie f(-5) und f(-1,5) und skizzieren sie Gf unter Berücksichtigung der Ergebnisse in Abbildung 1.

ABI2017 AI TeilB 1d Lös.jpgG



Aufgabe 2

Gegeben ist die Funktion h(x)= \frac{3}{e^{x+1} -1} mit Definitionsbereich Dh = ]-1;+∞[. Abbildung 2 zeigt den Graph Gh von h.

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a) Begründen Sie anhand des Funktionsterms, dass \lim_{x\to\infty}h(x)= 0 gilt. Zeigen Sie rechnerisch für x ∈ Dh, dass für die Ableitung h′ von h gilt: h′(x)<0. Gegeben ist ferner die in Dh definierte Integralfunktion H0:\int_{x}^{0} h (t)\,dt .

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b) Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass folgende Aussagen wahr sind:

α) Der Graph von H0 ist streng monoton steigend.
β) Der Graph von H0 ist rechtsgekrümmt.


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c) Geben Sie die Nullstelle von H0 an und bestimmen Sie näherungsweise mithilfe von Abbildung 2 die Funktionswerte H0 (-0,5) sowie H0 (3). Skizzieren Sie in Abbildung 2 den Graphen von H0 im Bereich -0,5 ≤ x ≤ 3.


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Aufgabe 3

In einem Labor wird ein Verfahren zur Reinigung von mit Schadstoffen kontaminiertem Wasser getestet. Die Funktion h aus Aufgabe 2 beschreibt für x ≥ 0 modellhaft die zeitliche Entwicklung des momentanen Schadstoffabbaus in einer bestimmten Wassermenge. Dabei bezeichnet h(x) die momentane Schadstoffabbaurate in Gramm pro Minute und x die seit Beginn des Reinigungsvorgangs ergangene Zeit in Minuten.

a) Bestimmen Sie auf der Grundlage des Modells den Zeitpunkt x, zu dem die momentane Schadstoffabbaurate auf 0,01 Gramm pro Minute zurückgegangen ist. Die in IR \ { -3; -1 } definierte Funktion k(x) = 3 \cdot (\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x+3}) -0,2 stellt im Bereich -0,5 ≤ x ≤ 2 eine gute Näherung für die Funktion h dar.

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b) Beschreiben Sie, wie der Graph der Funktion k aus dem Graphen der Funktion f aus Aufgabe 1 hervorgeht.

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c) Berechnen Sie einen Näherungswert für \int_{0}^{1} h (x)\,dx, indem Sie den Zusammenhang \int_{0}^{1} h (x)\,dx ≈ \int_{0}^{1} k (x)\,dx verwenden. Geben Sie die Bedeutung dieses Werts im Sachzusammenhang an.

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