Abi 2014 Analysis I Teil B: Unterschied zwischen den Versionen

Gegeben ist die Funktion mit maximaler Definitionsmenge D_f = ]-∞;6]. Der Graph von f wird mit G_f bezeichnet.

Aufgabe 1

a) Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von G_f mit den Koordinatenachsen. Bestimmen Sie das Verhalten von f für x→-∞ und geben Sie f(6) an.

b) Bestimmen Sie den Term der Ableitungsfunktion f' von f und geben Sie die maximale Definitionsmenge von f´ an. Bestimmen Sie und beschreiben Sie, welche Eigenschaft von G_f aus diesem Ergebnis folgt.

(zur Kontrolle: )

c) Geben Sie das Monotonieverhalten von G_f und die Wertemenge von f an.

d) Geben Sie f(-2) an und zeichnen Sie G_f unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse in ein Koordinatensystem ein (Platzbedarf im Hinblick auf die folgenden Aufgaben: -3 ≤ y ≤ 7 ).

e) Die Funktion f ist in D_f umkehrbar. Geben Sie die Definitionsmenge der Umkehrfunktion f^-1 von f an und zeigen Sie, dass gilt.

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Der Graph der in IR definierten Funktion ist die Parabel G_h. Der Graph der in Aufgabe 1e betrachteten Umkehrfunktion f^-1 ist ein Teil dieser Parabel.

Aufgabe 2

a) Berechnen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von G_h mit der durch die Gleichung y = x gegebenen Winkelhalbierenden w des I. und III. Quadranten.

(Teilergebnis: x-Koordinaten der Schnittpunkte: -2 und 4)

b) Zeichnen Sie die Parabel G_h – unter Berücksichtigung des Scheitels – im Bereich -2 ≤ x ≤ 4 in Ihre Zeichnung aus Aufgabe 1d ein. Spiegelt man diesen Teil von G_h an der Winkelhalbierenden w, so entsteht eine herzförmige Figur; ergänzen Sie Ihre Zeichnung dementsprechend.

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Aufgabe 3

Durch die in Aufgabe 2 entstandene herzförmige Figur soll das abgebildete Blatt modellhaft beschrieben werden. Eine Längeneinheit im Koordinatensystem aus Aufgabe 1d soll dabei 1cm in der Wirklichkeit entsprechen.

a) Berechnen Sie den Inhalt des von G_h und der Winkelhalbierenden w eingeschlossenen Flächenstücks. Bestimmen Sie unter Verwendung dieses Werts den Flächeninhalt des Blatts auf der Grundlage des Modells.

b) Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente an G_h im Punkt (-2|h(-2)). Berechnen Sie den Wert, den das Modell für die Größe des Winkels liefert, den die Blattränder an der Blattspitze einschließen.

c) Der Verlauf des oberen Blattrands wird in der Nähe der Blattspitze durch das bisher verwendete Modell nicht genau genug dargestellt. Daher soll der obere Blattrand im Modell für -2 ≤ x ≤ 0 nicht mehr durch G_h, sondern durch den Graphen G_k einer in IR definierten ganzrationalen Funktion k dritten Grades beschrieben werden. Für die Funktion k werden die folgenden Bedingungen gewählt (k' und h' sind die Ableitungsfunktionen von k bzw. h):

I k(0)=h(0)

II k'(0)=h'(0)

III k(-2)=h(-2)

IV k'(-2)=1,5

Begründen Sie im Sachzusammenhang, dass die Wahl der Bedingungen I, II und III sinnvoll ist. Machen Sie plausibel, dass die Bedingung IV dazu führt, dass die Form des Blatts in der Nähe der Blattspitze im Vergleich zum ursprünglichen Modell genauer dargestellt wird.

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