Beweis: Unterschied zwischen den Versionen

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[[Datei:Tetrahedron-white.gif|rechts|120px|Hexaeder Erde]][[Datei:Tetrahedron-white.gif|links|Tetraeder]]
 
  
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<center><font size="4"> Der nun folgende "Beweis" ist von anschaulich-inhaltlicher Art und somit als nicht allgemeingültig anzusehen. </font></center><br>
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<center><font size="4"> Er soll nur dazu dienen, den Sachverhalt schülergerecht zu veranschaulichen, sodass die Grundüberlegungen dieses Beweises verstanden werden. </font></center><br>
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&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<u><font size="4">Behauptung:</font></u>
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<div align="center"><font size="3">''Es können nur fünf Platonische Körper existieren!''</font></div>
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&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<u><font size="4">Grundlegende Überlegungen:</font></u>
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&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<big>(1) Welche Bedingungen müssen eingehalten werden, um Platonische Körper zu erzeugen?</big>
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Aus den grundlegenden Definitionen ([[Benutzer:Thamm_Pascal/Platonische_K%C3%B6rper/Grundlagen|Hier zu finden]]) folgen die Bedingungen
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&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;o Kongruenz der Ecken (1.1)
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&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;o paarweise Kongruenz der regulären Polygone (1.2)
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&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;o und Konvexität des Polyeders (1.3)
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&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<big>(2) Welche Bedingungen müssen eingehalten werden, um eine konvexe Körperecke zu erzeugen?</big>
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&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;o Um eine [[Benutzer:Thamm_Pascal/Platonische_K%C3%B6rper/Grundlagen|konvexe]] Ecke zu erzeugen,<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;muss die Winkelsumme der Ecke kleiner als 360° sein. ( 2.1)
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&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;o Würde die Ecke eine Winkelsumme von genau 360° aufweisen, <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;könnte man zwar mit dieser eine Ebene parkettieren, aber keine&nbsp;&nbsp;&nbsp;<br>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; konvexe Ecke erzeugen. (2.2)
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&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;o Eine größere Winkelsumme als 360° kann nicht erzeugt werden,<br> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;da die maximale Winkelsumme 360° beträgt. (2.3)
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&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<big>(3) Welche Bedingungen müssen eingehalten werden, um eine Körperecke zu erzeugen?</big>
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&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;o Um eine Körperecke zu erzeugen, müssen auf dieser, die Ecken <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;von mindestens drei [[Benutzer:Thamm_Pascal/Platonische_K%C3%B6rper/Grundlagen|Polygonen]] zusammen-/aufeinandertreffen. (3.1)
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&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;o Falls weniger als drei Kanten in einer Ecke aufeinandertreffen, kann <br>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;keine Ecke im Raum entstehen. (3.2)
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Beispiel 3.1:[[File:Schlegeldiagramm des Tetraeders.svg|90px|Tetraeder]]    Beispiel 3.2:[[File:Regular triangle.svg|x100px|reguläres Dreieck]]
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&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;<u><font size="4">Beiweisführung:</font></u>
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&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <u>aus 2.1 und 3.1 folgt:</u> Die maximale Winkelsumme einer Ecke geteilt durch die Anzahl der zusammenstoßenden regulären Polygone in dieser, ergeben den maximalen Flächenwinkel der Polygone.
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&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Es existieren nur die drei Polygone reguläres Dreieck (60°), Viereck (90°) und Fünfeck (108°), die diese Bedingung erfüllen.
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Denn andere n-Ecke mit n ≥ 6 haben, 
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&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;[[File:Regular triangle.svg|x150px|reguläres Dreieck]] 3 * 60° > 360°
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<!--<center>{{#slideshare:eigenschaftendestetraeders-131005035717-phpapp01}}</center>
 
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<!--http://www.3quarks.com/de/PlatonischeKoerper/index.html
 
<!--http://www.3quarks.com/de/PlatonischeKoerper/index.html
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Aktuelle Version vom 9. November 2013, 12:29 Uhr

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Bastelanleitung Briefpapier Button.pngBastelanleitung
Aufgaben Briefpapier Button.pngAufgaben




B E W E I S


Der nun folgende "Beweis" ist von anschaulich-inhaltlicher Art und somit als nicht allgemeingültig anzusehen.

Er soll nur dazu dienen, den Sachverhalt schülergerecht zu veranschaulichen, sodass die Grundüberlegungen dieses Beweises verstanden werden.



     Behauptung:

Es können nur fünf Platonische Körper existieren!


     Grundlegende Überlegungen:


          (1) Welche Bedingungen müssen eingehalten werden, um Platonische Körper zu erzeugen?


          (2) Welche Bedingungen müssen eingehalten werden, um eine konvexe Körperecke zu erzeugen?


          (3) Welche Bedingungen müssen eingehalten werden, um eine Körperecke zu erzeugen?


     Beiweisführung:


           aus 2.1 und 3.1 folgt: Die maximale Winkelsumme einer Ecke geteilt durch die Anzahl der zusammenstoßenden regulären Polygone in dieser, ergeben den maximalen Flächenwinkel der Polygone.


                                           Winkelsumme jeder Ecke < 360° (1.1)

                                           Anzahl der zusammenstoßenden regulären Polygone ≥ 3


                                                 ==> <360° / 3 = <120°


                                                      ==> Jedes reguläre Polygon mit einem kleineren Flächenwinkel als 120° kann als Grundkörper für die Bildung von Platonischen Körpern verwendet werden


                                                             Es existieren nur die drei Polygone reguläres Dreieck (60°), Viereck (90°) und Fünfeck (108°), die diese Bedingung erfüllen. Denn andere n-Ecke mit n ≥ 6 haben,

                                                             aufgrund der Formel der Winkelsummen, welche aus den Axiomen der euklidischen Geometrie abgeleitet ist, einen Flächenwinkel ≥ 120°.                                           
reguläres Dreieckreguläres Viereckreguläres Fünfeck


                                           Bei der Anzahl der zusammenstoßenden regulären Polygone gleich 3 und einem daraus folgenden Flächenwinkel der Polygone von kleiner als 120° können also die drei                                            Polygone reguläres Dreieck, Viereck und Fünfeck als Ausgangskörper zur Bildung von Platonischen Körpern angesehen werden.


                                           reguläres Dreieck 3 * 60° > 360°


                                           reguläres Viereck 3 * 90° > 360°


                                           reguläres Fünfeck 3 * 108° > 360°


                                           Bei der Anzahl der zusammenstoßenden regulären Polygone gleich 4 und einem daraus folgenden Flächenwinkel der Polygone von kleiner als 90° kann also nur ein Polygon                                            nämlich das reguläres Dreieck als Ausgangskörper zur Bildung von Platonischen Körpern angesehen werden.


                                           reguläres Dreieck 4 * 60° > 360°


                                           Bei der Anzahl der zusammenstoßenden regulären Polygone gleich 5 und einem daraus folgenden Flächenwinkel der Polygone von kleiner als 72° kann also nur ein Polygon                                            nämlich das reguläres Dreieck als Ausgangskörper zur Bildung von Platonischen Körpern angesehen werden.


                                           reguläres Dreieck 5 * 60° > 360°

Von „http://rmg.zum.de/index.php?title=Benutzer:Thamm_Pascal/Platonische_Körper/Lernpfad_zur_9.Klasse/Beweis&oldid=54658“

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