2010 IV: Unterschied zwischen den Versionen
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<center><big>'''Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2010'''</big></center> | <center><big>'''Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2010'''</big></center> | ||
<center><big>'''Wahrscheinlichkeitsrechnung/Statistik IV'''</big></center><br> | <center><big>'''Wahrscheinlichkeitsrechnung/Statistik IV'''</big></center><br> | ||
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<center>[http://www.isb.bayern.de/isb/download.aspx?DownloadFileID=8399f64c8fdd93c9528fd4e35c5201a9 '''Download der Originalaufgaben: Abitur 2010 LK Mathematik Bayern'''] - </center> | <center>[http://www.isb.bayern.de/isb/download.aspx?DownloadFileID=8399f64c8fdd93c9528fd4e35c5201a9 '''Download der Originalaufgaben: Abitur 2010 LK Mathematik Bayern'''] - </center> | ||
<center>Lösung von [[Benutzer:Grieninger_Sebastian| Sebastian Grieninger]]</center> | <center>Lösung von [[Benutzer:Grieninger_Sebastian| Sebastian Grieninger]]</center> | ||
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„Ziehen ohne Zurücklegen“ um weniger als 0,2 Prozentpunkte | „Ziehen ohne Zurücklegen“ um weniger als 0,2 Prozentpunkte | ||
unterscheiden, wenn von einer Kiste mit 1000 Steinen ausgegangen | unterscheiden, wenn von einer Kiste mit 1000 Steinen ausgegangen | ||
− | wird. | + | wird. (5 BE) |
:{{Lösung versteckt|1= | :{{Lösung versteckt|1= | ||
Zuerst müssen die Wahrscheinlichkeiten für die 4 Farben berechnet werden:<br><br> | Zuerst müssen die Wahrscheinlichkeiten für die 4 Farben berechnet werden:<br><br> | ||
Da jeder 5. Stein gelb ist, finden sich unter 100 Steinen <math> \textstyle \frac {100} {5} </math> = 20 gelbe Steine.<br> | Da jeder 5. Stein gelb ist, finden sich unter 100 Steinen <math> \textstyle \frac {100} {5} </math> = 20 gelbe Steine.<br> | ||
− | Daraus folgt, dass die Wahrscheinlichkeit für einen gelben Stein <u>P(gelb) = 0,2</u> <br> | + | Daraus folgt, dass die Wahrscheinlichkeit für einen gelben Stein <u>P("gelb") = 0,2</u> ist.<br> |
− | + | Die Wahrscheinlichkeit für einen grünen Stein ist <u>P("grün") = 0,08</u>.<br> | |
− | Aus | + | Aus es gibt dreimal so viele blaue wie grüne Steine in der Kiste folgt <u>P("blau")</u>= 3 <math> \cdot </math> 0,08 = <u> 0,24</u>.<br> |
− | Die restlichen Steine sind rot also ergibt sich für <u>P(rot)= 1 - 0,2 - 0,08 - 0,24 = 0,48</u>.<br><br> | + | Die restlichen Steine sind rot also ergibt sich für <u>P("rot")</u>= 1 - 0,2 - 0,08 - 0,24 = <u>0,48</u>.<br><br> |
Unter 1000 Steinen befinden sich 0,08 <math> \cdot </math> 1000 = 80 grüne Steine. <br><br> | Unter 1000 Steinen befinden sich 0,08 <math> \cdot </math> 1000 = 80 grüne Steine. <br><br> | ||
− | Die Wahrscheinlichkeit, dass sich beim Ziehen von 10 Steinen kein grüner | + | Die Wahrscheinlichkeit, dass sich beim Ziehen von 10 Steinen unter den gezogenen kein grüner befindet, beträgt (Ziehen mit Zurücklegen):<br><br> |
<math>P_{0,08}^{10} (x=0) = {10 \choose 0} \cdot 0,08^0 \cdot (1-0,08)^{10-0} = (0,92)^{10} \approx 0,43439 </math><br><br> | <math>P_{0,08}^{10} (x=0) = {10 \choose 0} \cdot 0,08^0 \cdot (1-0,08)^{10-0} = (0,92)^{10} \approx 0,43439 </math><br><br> | ||
− | Die Wahrscheinlichkeit, dass sich beim Ziehen von 10 Steinen kein grüner | + | Die Wahrscheinlichkeit, dass sich beim Ziehen von 10 Steinen unter den gezogenen kein grüner befindet, beträgt (Ziehen ohne Zurücklegen):<br><br> |
<math> P (x=0) = \frac {{80 \choose 0} \cdot {{920 \choose 10}}} {{1000 \choose 10}} \approx 0,43368 </math> <br> | <math> P (x=0) = \frac {{80 \choose 0} \cdot {{920 \choose 10}}} {{1000 \choose 10}} \approx 0,43368 </math> <br> | ||
oder <math> \frac {\frac {920!}{910!}} {\frac {1000!} {990!}} \approx 0,43368 </math> <br><br> | oder <math> \frac {\frac {920!}{910!}} {\frac {1000!} {990!}} \approx 0,43368 </math> <br><br> | ||
− | Die Differenz ist mit: 0,43439 - 0,43268 < 0, | + | <div style="blue:0px; margin-right:90px; border: solid blue; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; "> <u>Antwort:</u> Die Differenz ist mit: 0,43439 - 0,43268 = 0,00171 < 0,2 % vernachlässigbar. </div> |
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b) Wie viele Bausteine müssen mindestens aus der Kiste zufällig entnommen | b) Wie viele Bausteine müssen mindestens aus der Kiste zufällig entnommen | ||
werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als | werden, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als | ||
− | 75 % wenigstens ein grüner Baustein darunter ist? | + | 75 % wenigstens ein grüner Baustein darunter ist? (4 BE) |
:{{Lösung versteckt|1= | :{{Lösung versteckt|1= | ||
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<math> n \ge \log_{0,92} (0,25)</math>;<br><br> | <math> n \ge \log_{0,92} (0,25)</math>;<br><br> | ||
<math> n \ge 16,6 </math>;<br><br> | <math> n \ge 16,6 </math>;<br><br> | ||
− | Es müssen also mindestens 17 Steine entnommen werden. | + | <div style="blue:0px; margin-right:90px; border: solid blue; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; "> <u>Antwort:</u> Es müssen also mindestens 17 Steine entnommen werden. </div> |
}} <br> | }} <br> | ||
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ihn zahlen. Wie hoch muss Lars diesen Betrag mindestens festsetzen, | ihn zahlen. Wie hoch muss Lars diesen Betrag mindestens festsetzen, | ||
damit er bei häufigem Spielen im Mittel keinen Verlust zu befürchten | damit er bei häufigem Spielen im Mittel keinen Verlust zu befürchten | ||
− | hat? | + | hat? (5 BE) |
:{{Lösung versteckt|1= | :{{Lösung versteckt|1= | ||
+ | |||
+ | <table border="1" cellpadding="5" rules="all" style="text-align:center; color:black;margin:auto;font-size:12px; border:1px solid balck;"> | ||
+ | |||
+ | <tr> | ||
+ | <td>X = k </td> | ||
+ | <td> m</td> | ||
+ | <td>1</td> | ||
+ | <td>5</td> | ||
+ | </tr> | ||
+ | <tr> | ||
+ | <td>P(X = k)</td> | ||
+ | <td>0,48</td> | ||
+ | <td>0,2 + 0,24 = 0,44</td> | ||
+ | <td>0,08</td> | ||
+ | </tr> | ||
+ | |||
+ | </table><br><br> | ||
Lars hat nur dann im Mittel keinen Verlust, wenn der Erwartungswert für die Auszahlung gleich 0 ist.<br><br> | Lars hat nur dann im Mittel keinen Verlust, wenn der Erwartungswert für die Auszahlung gleich 0 ist.<br><br> | ||
− | <math>E(x)= | + | <math>E(x)= m \cdot 0,48 + 1 \cdot 0,44 + 5 \cdot 0,08 = 0</math>;<br><br> |
− | + | <math> 0,48 \cdot m = -0,84 \rightarrow m = -1,75 </math>;<br><br> | |
− | + | <div style="blue:0px; margin-right:90px; border: solid blue; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; "> <u>Antwort:</u> Für jeden roten Stein muss er mindestens 1,75€ verlangen.</div> | |
− | <math> 0,48 \cdot | + | |
− | Für jeden roten Stein muss er mindestens 1,75€ verlangen. | + | |
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gibt, bei dem die in den Diagrammen dargestellten Wahrscheinlichkeiten | gibt, bei dem die in den Diagrammen dargestellten Wahrscheinlichkeiten | ||
P(k) und P*(k) um mehr als 2 Prozentpunkte voneinander | P(k) und P*(k) um mehr als 2 Prozentpunkte voneinander | ||
− | abweichen. | + | abweichen. (7 BE) |
:{{Lösung versteckt|1= | :{{Lösung versteckt|1= | ||
− | Die Bedingung der Brauchbarkeit findet sich in der | + | Die Bedingung der Brauchbarkeit findet sich in der Mathematikformelsammlung auf Seite 111 und lautet: n <math> \cdot </math> p <math> \cdot </math> (1 - p) > 9;<br> Durch das Einsetzen von n = 16 (Es befinden sich 16 Steine in der Kiste) und p (Die Wahrscheinlichkeit für einen gelben Stein ist 0,2) erhält man:<br> 16 <math> \cdot </math> 0,2 <math> \cdot </math> 0,8 = 2,56; |
Da 2,56 < 9 ist, ist dieses Kriterium nicht erfüllt. | Da 2,56 < 9 ist, ist dieses Kriterium nicht erfüllt. | ||
<br><br> Nun soll gezeigt werden, dass es einen Wert für k gibt, bei dem die in den Diagrammen dargestellten Wahrscheinlichkeiten P(k) und P*(k) um mehr als 2 Prozentpunkte voneinander abweichen.<br><br> | <br><br> Nun soll gezeigt werden, dass es einen Wert für k gibt, bei dem die in den Diagrammen dargestellten Wahrscheinlichkeiten P(k) und P*(k) um mehr als 2 Prozentpunkte voneinander abweichen.<br><br> | ||
− | Man sieht, dass die Werte für k = 1, k = 2 und k = 4 am deutlichsten voneinander abweichen. | + | Man sieht, dass die Werte für k = 1, k = 2 und k = 4 am deutlichsten voneinander abweichen. Außerdem wird deutlich, dass für k = 2 die beiden Werte am deutlichsten abweichen. Dies soll rechnerisch nachgeprüft werden: <br><br> |
Zuerst müssen für die Normalverteilung folgende Werte berechnet werden:<br><br> | Zuerst müssen für die Normalverteilung folgende Werte berechnet werden:<br><br> | ||
<math> \mu = n \cdot p = 16 \cdot 0,2 = 3{,}2 </math><br><br> | <math> \mu = n \cdot p = 16 \cdot 0,2 = 3{,}2 </math><br><br> | ||
<math> \sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{16 \cdot 0,2 \cdot 0,8} = 1{,}6</math> <br><br> Also folgt:<br> | <math> \sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot (1-p)} = \sqrt{16 \cdot 0,2 \cdot 0,8} = 1{,}6</math> <br><br> Also folgt:<br> | ||
<math> k = 2; P_{0,2}^{16} (x = 2) = {16 \choose 2} \cdot 0,2^2 \cdot 0,8^{14} \approx 0{,}21111 </math><br><br> | <math> k = 2; P_{0,2}^{16} (x = 2) = {16 \choose 2} \cdot 0,2^2 \cdot 0,8^{14} \approx 0{,}21111 </math><br><br> | ||
− | Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung (FS.111): <br><br> | + | Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung (FS S.111): <br><br> |
<math>P_{0,2}^{16}(x = 2)\approx \frac {1}{\sigma} \cdot \varphi (\frac {k - \mu}{\sigma}) = \frac {1}{1,6} \cdot \varphi (\frac {2 - 3{,}2}{1{,}6}) = \frac {1}{1{,}6} \cdot \varphi (-0,75) = \frac {1}{1{,}6} \cdot \varphi (0,75) = \frac {1}{1{,}6} \cdot 0{,}30114 = 0{,}18821 </math><br><br> Anmerkung: aus Symetriegründen gilt: <math> \phi (-x) = \phi (x) </math><br>Die Werte für <math> \phi </math> stammen aus dem Tafelwerk. <br><br> Für die Differenz folgt: P(2) – P*(2) = 0,21111 - 0,09622 = 0,02290 > 0,02.<br><br> | <math>P_{0,2}^{16}(x = 2)\approx \frac {1}{\sigma} \cdot \varphi (\frac {k - \mu}{\sigma}) = \frac {1}{1,6} \cdot \varphi (\frac {2 - 3{,}2}{1{,}6}) = \frac {1}{1{,}6} \cdot \varphi (-0,75) = \frac {1}{1{,}6} \cdot \varphi (0,75) = \frac {1}{1{,}6} \cdot 0{,}30114 = 0{,}18821 </math><br><br> Anmerkung: aus Symetriegründen gilt: <math> \phi (-x) = \phi (x) </math><br>Die Werte für <math> \phi </math> stammen aus dem Tafelwerk. <br><br> Für die Differenz folgt: P(2) – P*(2) = 0,21111 - 0,09622 = 0,02290 > 0,02.<br><br> | ||
− | Für k = 2 unterscheiden sich die beiden Werte um mehr als 2 %. | + | <div style="blue:0px; margin-right:90px; border: solid blue; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; "> <u>Antwort:</u> Für k = 2 unterscheiden sich die beiden Werte um mehr als 2 %. |
− | + | </div> | |
}} <br> | }} <br> | ||
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e) In die Kiste werden weitere gelbe Bausteine gegeben. Um wie viel | e) In die Kiste werden weitere gelbe Bausteine gegeben. Um wie viel | ||
Prozent muss dabei die Anzahl der gelben Bausteine erhöht werden, | Prozent muss dabei die Anzahl der gelben Bausteine erhöht werden, | ||
− | damit anschließend jeder dritte Baustein in der Kiste gelb ist? | + | damit anschließend jeder dritte Baustein in der Kiste gelb ist? (3 BE) |
:{{Lösung versteckt|1= | :{{Lösung versteckt|1= | ||
Zeile 141: | Zeile 154: | ||
<math> 2 \cdot x = 0,4 \cdot n </math>;<br><br> | <math> 2 \cdot x = 0,4 \cdot n </math>;<br><br> | ||
<math> x = 0,2 \cdot n</math>;<br><br> | <math> x = 0,2 \cdot n</math>;<br><br> | ||
− | Weil x k entspricht, muss man genausoviele gelbe Steine, wie bereits vorhanden waren, hinzufügen, was einer Erhöhung um 100 % entspricht. | + | <div style="blue:0px; margin-right:90px; border: solid blue; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; "> <u>Antwort:</u> Weil x k entspricht, muss man genausoviele gelbe Steine, wie bereits vorhanden waren, hinzufügen, was einer Erhöhung um 100 % entspricht. </div> |
}} | }} | ||
Zeile 168: | Zeile 181: | ||
sich irrtümlich für einen falschen Typ zu entscheiden, | sich irrtümlich für einen falschen Typ zu entscheiden, | ||
möglichst nahe beieinander liegen. Wie groß sind in diesem Fall die | möglichst nahe beieinander liegen. Wie groß sind in diesem Fall die | ||
− | beiden Irrtumswahrscheinlichkeiten? | + | beiden Irrtumswahrscheinlichkeiten? (5 BE) |
:{{Lösung versteckt|1= | :{{Lösung versteckt|1= | ||
− | + | Für Typ A gilt: Jeder 5. Baustein ist gelb. Daraus folgt: p<sub>A</sub> = <math> \textstyle \frac {1}{5}</math>.<br> | |
− | Für Typ A gilt: | + | Für Typ B: Jeder 3. Baustein ist gelb. Damit gilt: p<sub>B</sub> = <math> \textstyle \frac {1}{3} </math>.<br> |
− | Für Typ B: | + | |
n = 25 ("Ziehen mit Zurücklegen da Anzahl der Steine hinreichend groß ist")<br><br> | n = 25 ("Ziehen mit Zurücklegen da Anzahl der Steine hinreichend groß ist")<br><br> | ||
− | + | <table border="1" cellpadding="5" rules="all" style="text-align:center; color:black;margin:auto;font-size:12px; border:1px solid balck;"> | |
− | + | <tr> | |
− | + | <td width="33%">Realität </td> | |
− | + | <td width="33%">Annahmebereich</td> | |
− | + | <td width="33%">Fehlerwahrscheinlichkeit</td> | |
− | + | </tr> | |
− | + | <tr> | |
− | + | <td> p<sub>A</sub> = <math> \textstyle \frac {1}{5}</math></td> | |
+ | <td>A<sub>1</sub> = {0,...,k}</td> | ||
+ | <td> <math> P_{\frac {1}{5}}^{25} (x \ge k+1) </math></td> | ||
+ | </tr> | ||
+ | <tr> | ||
+ | <td>p<sub>B</sub> = <math> \textstyle \frac {1}{3}</math></td> | ||
+ | <td>A<sub>2</sub> = {k+1,...,25}</td> | ||
+ | <td><math> P_{\frac {1}{3}}^{25} (x \le k) </math></td> | ||
+ | </tr> | ||
+ | |||
+ | </table> | ||
<br><br>Die Fehlerwahrscheinlichkeiten sollen möglichst nahe beieinander liegen: <math> P_{\frac {1}{5}}^{25} (x \ge k+1) \approx P_{\frac {1}{3}}^{25} (x \le k)</math><br><br> | <br><br>Die Fehlerwahrscheinlichkeiten sollen möglichst nahe beieinander liegen: <math> P_{\frac {1}{5}}^{25} (x \ge k+1) \approx P_{\frac {1}{3}}^{25} (x \le k)</math><br><br> | ||
<math> 1- P_{\frac {1}{5}}^{25} (x \le k) \approx P_{\frac {1}{3}}^{25} (x \le k)</math><br><br> | <math> 1- P_{\frac {1}{5}}^{25} (x \le k) \approx P_{\frac {1}{3}}^{25} (x \le k)</math><br><br> | ||
− | <math> P_{\frac {1}{3}}^{25} (x \le k) + P_{\frac {1}{5}}^{25} \approx 1 </math><br><br> | + | <math> P_{\frac {1}{3}}^{25} (x \le k) + P_{\frac {1}{5}}^{25} (x \le k) \approx 1 </math><br><br> |
Im Tafelwerk kann man nun den Wert für k finden. <br><br> | Im Tafelwerk kann man nun den Wert für k finden. <br><br> | ||
Zeile 193: | Zeile 215: | ||
k = 7: 0,89088 + 0,37026 = 1,26114 <br> | k = 7: 0,89088 + 0,37026 = 1,26114 <br> | ||
<br> | <br> | ||
− | + | Es wird deutlich, dass für k = 6 die beiden Fehlerwahrscheinlichkeiten am nähesten beieinander liegen. Deshalb folgt die Entscheidungsregel: | |
− | + | <div style="blue:0px; margin-right:90px; border: solid blue; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; "> Man entscheidet sich bei höchstens 6 gelben Steinen für p<sub>A</sub>.</div><br><br> | |
− | + | <table border="0" cellpadding="5" style="text-align:center; color:black;margin:auto;font-size:12px; border:1px solid balck;"> | |
− | + | <tr> | |
− | + | <td> | |
− | + | <table border="1" cellpadding="5" rules="all" style="text-align:center; color:black;margin:auto;font-size:12px; border:1px solid balck;"> | |
− | + | <tr> | |
− | + | <td width="33%">Realität</td> | |
− | + | <td width="33%">Annahmebereich</td> | |
− | + | <td width="33%">Fehlerwahrscheinlichkeit</td> | |
− | <math> P_{\frac {1}{ | + | </tr> |
− | + | <tr> | |
+ | <td>p<sub>A</sub> = <math> \textstyle \frac {1}{5}</math></td> | ||
+ | <td>A<sub>1</sub> = {0,...,6}</td> | ||
+ | <td><math> P_{\frac {1}{5}}^{25} (x \ge 7) </math></td> | ||
+ | </tr> | ||
+ | <tr> | ||
+ | <td>p<sub>B</sub> = <math> \textstyle \frac {1}{3}</math></td> | ||
+ | <td>A<sub>2</sub> = {7,...,25}</td> | ||
+ | <td> <math> P_{\frac {1}{3}}^{25} (x \le 6) </math></td> | ||
+ | </tr> | ||
− | + | </table> | |
+ | </td> | ||
+ | </tr> | ||
+ | </table> | ||
<br> | <br> | ||
+ | <div style="blue:0px; margin-right:90px; border: solid blue; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; "> Die Fehlerwahrscheinlichkeiten lauten also: <br><br> | ||
+ | <math> P_{\frac {1}{5}}^{25} (x \ge 7) = 1 - P_{\frac {1}{5}}^{25} (x \le 6) = 1 - 0{,}78004 = 0,21996 </math><br> | ||
+ | <math> P_{\frac {1}{3}}^{25} (x \le 6) = 0,22154 </math></div> | ||
+ | <br> | ||
+ | }} | ||
b) Wie muss die Entscheidungsregel aus Teilaufgabe 2a bei gleichbleibendem | b) Wie muss die Entscheidungsregel aus Teilaufgabe 2a bei gleichbleibendem | ||
Zeile 213: | Zeile 252: | ||
Wahrscheinlichkeit, sich irrtümlich für Typ A zu entscheiden, verringern | Wahrscheinlichkeit, sich irrtümlich für Typ A zu entscheiden, verringern | ||
will? Nennen Sie eine Konsequenz, die diese Änderung | will? Nennen Sie eine Konsequenz, die diese Änderung | ||
− | hinsichtlich einer Entscheidung für Typ B hat. | + | hinsichtlich einer Entscheidung für Typ B hat. (3 BE) |
:{{Lösung versteckt|1= | :{{Lösung versteckt|1= | ||
+ | <div style="blue:0px; margin-right:90px; border: solid blue; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; "> <u>Antwort:</u> Wenn man die die Wahrscheinlichkeit, sich fälschlicherweise für Typ A zu entscheiden, verringern will, so muss der Annahmebereich A<sub>1</sub> kleiner werden. Also k < 6.</div> | ||
+ | So folgt z.B. für k = 4:<br><br> | ||
+ | <table border="1" cellpadding="5" rules="all" style="text-align:center; color:black;margin:auto;font-size:12px; border:1px solid balck;"> | ||
+ | <tr> | ||
+ | <td width="33%">Realität </td> | ||
+ | <td width="33%">Annahmebereich</td> | ||
+ | <td width="33%">Fehlerwahrscheinlichkeit</td> | ||
+ | </tr> | ||
+ | <tr> | ||
+ | <td> p<sub>A</sub> = <math> \textstyle \frac {1}{5}</math></td> | ||
+ | <td>A<sub>1</sub> = {0,...,4}</td> | ||
+ | <td> <math> P_{\frac {1}{5}}^{25} (x \ge 5) </math></td> | ||
+ | </tr> | ||
+ | <tr> | ||
+ | <td>p<sub>B</sub> = <math> \textstyle \frac {1}{3}</math></td> | ||
+ | <td>A<sub>2</sub> = {5,...,25}</td> | ||
+ | <td><math> P_{\frac {1}{3}}^{25} (x \le 4) </math></td> | ||
+ | </tr> | ||
+ | </table> | ||
− | + | <br><div style="blue:0px; margin-right:90px; border: solid blue; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; "> <u>Antwort:</u> Die Konsequenz davon ist, dass die Wahrscheinlichkeit sich fälschlicherweise für Typ B zu entscheiden steigt.</div> | |
− | |||
+ | }} | ||
+ | </td></tr></table></center> | ||
</div> | </div> | ||
Zeile 238: | Zeile 297: | ||
a) Sie baut einen Turm, indem sie alle Steine aufeinandersetzt. Wie viele | a) Sie baut einen Turm, indem sie alle Steine aufeinandersetzt. Wie viele | ||
verschiedene Farbmuster sind bei diesem Turm möglich, wenn weder | verschiedene Farbmuster sind bei diesem Turm möglich, wenn weder | ||
− | der oberste noch der unterste Stein rot sein sollen? <br> | + | der oberste noch der unterste Stein rot sein sollen? (4 BE) <br> |
:{{Lösung versteckt|1= | :{{Lösung versteckt|1= | ||
− | Der Turm schaut wie folgt aus(liegend dargestellt):<br><br> | + | Der Turm schaut wie folgt aus (liegend dargestellt):<br><br> |
[[Bild:Turm123.jpg|300px]]<br><br> | [[Bild:Turm123.jpg|300px]]<br><br> | ||
Da weder der 1. noch der letzte Stein rot sein soll, haben die roten Steine nur in der Mitte Platz:<br><br> | Da weder der 1. noch der letzte Stein rot sein soll, haben die roten Steine nur in der Mitte Platz:<br><br> | ||
Zeile 246: | Zeile 305: | ||
3 Steine verteilt auf 8 Plätze ergeeben: <math> {8 \choose 3} </math> Möglichkeiten.<br><br> | 3 Steine verteilt auf 8 Plätze ergeeben: <math> {8 \choose 3} </math> Möglichkeiten.<br><br> | ||
Nun bleiben für die blauen Steine noch 10-3 = 7 Plätze <br><br> | Nun bleiben für die blauen Steine noch 10-3 = 7 Plätze <br><br> | ||
− | + | Man verteilt also die 4 auf die restlichen 7 Plätze was <math> {7 \choose 4} </math> Möglichkeiten ergibt.<br><br> | |
− | Man verteilt also die 4 auf die restlichen 7 Plätze was <math> {7 \choose 4} </math> | + | |
Nun bleiben nurnoch 3 Plätze für gelb übrig:<br><br> | Nun bleiben nurnoch 3 Plätze für gelb übrig:<br><br> | ||
− | |||
Da die Steine nicht unterscheidbar sind gibt es nur eine Möglichkeit. <math> {3 \choose 3} </math><br><br> | Da die Steine nicht unterscheidbar sind gibt es nur eine Möglichkeit. <math> {3 \choose 3} </math><br><br> | ||
Es gibt also insgesamt: <math> {8 \choose 3} \cdot {7 \choose 4} \cdot {3 \choose 3} = 1960 </math> Möglichkeiten.<br><br> | Es gibt also insgesamt: <math> {8 \choose 3} \cdot {7 \choose 4} \cdot {3 \choose 3} = 1960 </math> Möglichkeiten.<br><br> | ||
Wenn man zuerst die gelben und dann die blauen Steine verteilt erhält man Alternativ: <math> {8 \choose 3} \cdot {7 \choose 3} \cdot {4 \choose 4} = 1960 </math><br><br> | Wenn man zuerst die gelben und dann die blauen Steine verteilt erhält man Alternativ: <math> {8 \choose 3} \cdot {7 \choose 3} \cdot {4 \choose 4} = 1960 </math><br><br> | ||
− | Es gibt | + | <div style="blue:0px; margin-right:90px; border: solid blue; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; "> <u>Antwort:</u> Es gibt 1960 verschiedene Farbmuster.</div> |
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Quadraten bestehende Stirnseite der „Treppe“ möglich, | Quadraten bestehende Stirnseite der „Treppe“ möglich, | ||
wenn in jeder waagrechten Reihe ein blauer Stein sitzen | wenn in jeder waagrechten Reihe ein blauer Stein sitzen | ||
− | soll? | + | soll? (4 BE) |
:{{Lösung versteckt|1= | :{{Lösung versteckt|1= | ||
Da in jeder waagrechten Reihe ein blauer Stein sitzen soll schauen die Verteilungsmöglichkeiten für blaue Steine wie folgt aus:<br><br> | Da in jeder waagrechten Reihe ein blauer Stein sitzen soll schauen die Verteilungsmöglichkeiten für blaue Steine wie folgt aus:<br><br> | ||
− | [[Bild:Pyr221.jpg]]<br><br> | + | <div style="text-align:center;"> [[Bild:Pyr221.jpg|200px]]</div> <br><br> |
− | + | Nun bleiben noch 6 Plätze für die gelben Steine übrig:<br> | |
− | + | Es werden 3 gelbe Steine auf 6 freie Plätze verteilt, was <math> {6 \choose 3} = 20 </math> Möglichkeiten ergibt. <br><br> | |
+ | Da nun für die 3 roten Steine 3 Plätze übrig bleiben, hat man nur eine Möglichkeit sie zu verteilen.<br> | ||
+ | (Selbstverständlich kann man auch zuerst die 3 roten Steine auf die 6 freien Plätze und anschließend die gelben Steine verteilen.)<br><br> | ||
+ | <div style="blue:0px; margin-right:90px; border: solid blue; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; "> <u>Antwort:</u> Es ergeben sich also 24 <math> \cdot </math> 20 = 480 verschieden Farbmuster für die "Treppe", wenn in jeder waagrechten Reihe ein blauer Stein sitzt.</div> | ||
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</td></tr></table></center> | </td></tr></table></center> |
Aktuelle Version vom 28. Februar 2011, 23:17 Uhr
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Es gibt zwei Typen A und B von Jumbo-Verkaufspackungen, die jeweils
gut gemischt Tausende von Bausteinen enthalten; diese unterscheiden sich
nur in ihrer Farbe. Bei Typ A ist jeder fünfte, bei Typ B jeder dritte Baustein
gelb. a) Geben Sie die Entscheidungsregel an, bei der die beiden Wahrscheinlichkeiten, sich irrtümlich für einen falschen Typ zu entscheiden, möglichst nahe beieinander liegen. Wie groß sind in diesem Fall die beiden Irrtumswahrscheinlichkeiten? (5 BE) Für Typ A gilt: Jeder 5. Baustein ist gelb. Daraus folgt: pA = .
k = 5: 0,61669 + 0,11195 = 0,72864 Man entscheidet sich bei höchstens 6 gelben Steinen für pA.
Die Fehlerwahrscheinlichkeiten lauten also:
b) Wie muss die Entscheidungsregel aus Teilaufgabe 2a bei gleichbleibendem Stichprobenumfang geändert werden, wenn man die Wahrscheinlichkeit, sich irrtümlich für Typ A zu entscheiden, verringern will? Nennen Sie eine Konsequenz, die diese Änderung hinsichtlich einer Entscheidung für Typ B hat. (3 BE) Antwort: Wenn man die die Wahrscheinlichkeit, sich fälschlicherweise für Typ A zu entscheiden, verringern will, so muss der Annahmebereich A1 kleiner werden. Also k < 6.
So folgt z.B. für k = 4:
Antwort: Die Konsequenz davon ist, dass die Wahrscheinlichkeit sich fälschlicherweise für Typ B zu entscheiden steigt. |
Lars’ kleine Schwester spielt mit 3 roten, 4 blauen und 3 gelben würfelförmigen
Bausteinen, die sich nur in ihrer Farbe unterscheiden. a) Sie baut einen Turm, indem sie alle Steine aufeinandersetzt. Wie viele
verschiedene Farbmuster sind bei diesem Turm möglich, wenn weder
der oberste noch der unterste Stein rot sein sollen? (4 BE) Der Turm schaut wie folgt aus (liegend dargestellt): Antwort: Es gibt 1960 verschiedene Farbmuster. b) Nun baut sie aus den 10 Steinen eine „Treppe“ (siehe Abbildung). Wie viele verschiedene Farbmuster sind für die aus 10 Quadraten bestehende Stirnseite der „Treppe“ möglich, wenn in jeder waagrechten Reihe ein blauer Stein sitzen soll? (4 BE) Da in jeder waagrechten Reihe ein blauer Stein sitzen soll schauen die Verteilungsmöglichkeiten für blaue Steine wie folgt aus: Nun bleiben noch 6 Plätze für die gelben Steine übrig: Antwort: Es ergeben sich also 24 20 = 480 verschieden Farbmuster für die "Treppe", wenn in jeder waagrechten Reihe ein blauer Stein sitzt. |