2003 II: Unterschied zwischen den Versionen

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a) Zeigen Sie, dass für den Rauminhalt V des Zelts und für den Flächeninhalt
 
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S der benötigten Zeltplane (ohne Boden und Laschen, das
 
S der benötigten Zeltplane (ohne Boden und Laschen, das

Aktuelle Version vom 18. April 2010, 11:10 Uhr


Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2006
Infinitesimalrechnung II


Download der Originalaufgaben: Abitur 2003 LK Mathematik Bayern - Lösung gesamt


Erarbeitet von Straßheimer Florian, Etzel Andre


Aufgabe 1

Gegeben ist die Schar der in IR definierten Funktionen f_k(x)=\frac{1}{2}\cdot(k-x)\cdot \sqrt{e^{x}} mit k \in \mathbb R . Der jeweilige Graph von f_k\, wird mit G_k\, bezeichnet.

a) Geben Sie f_k(0)\, sowie die Nullstelle von f_k\, an. Untersuchen Sie das Verhalten von f_k\, für x\rightarrow -\infty und für x\rightarrow +\infty

Andre Etzel Abi 03 II 1a.jpg

b) Zeigen Sie, dass f^{'}_k(x)= \frac{1}{2}f_{k-2}(x) gilt, und ermitteln Sie hiermit Funktionsterme der Ableitungen f^{''}_k\, und f^{'''}_k\, sowie einer Stammfunktion von f_k\, .


Andre Etzel Abi 03 II 1b.jpg

c) Zeigen Sie, dass G_k\, genau einen Hochpunkt und genau einen Wendepunkt besitzt, und bestimmen Sie die Koordinaten dieser Punkte.

Andre Etzel Abi 03 II 1c.jpg


d) Zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse G_4\, und G_6\, in ein gemeinsames Koordinatensystem ein.




e) G_4\, schließt im zweiten Quadranten mit den Koordinatenachsen ein sich ins Unendliche erstreckendes Flächenstück ein. Begründen Sie, dass dieses einen endlichen Inhalt hat.


Andre Etzel Abi 03 II 1e.jpg


f) Geben Sie an, welche Bedeutung die Funktion 2 \cdot f_6\, für die Funktion f_4\, hat. Bestimmen Sie mit Hilfe von G_6\, aus Ihrer Zeichnung die positive Zahl z (auf eine Dezimale genau), für die \int_{0}^{z} f_4 (x)\,dx =0 ist. Tragen Sie dazu entsprechende Hilfslinien in die Zeichnung ein und erläutern Sie Ihr Vorgehen. Überprüfen Sie Ihre graphisch gewonnene Näherungslösung, indem Sie z mit Hilfe des Taschenrechners auf eine Dezimale genau ermitteln.

Andre Etzel Abi 03 II 1f.jpg


Aufgabe 2

Das abgebildete Zelt
Straßheimer Florian Graph abiaufgabe 03.jpg
- geometrisch betrachtet

ein gerades Prisma - hat einen rechteckigen Grundriss mit den Seitenlängen \frac{3}{2}a und b\, . Die Front besteht aus einem Rechteck mit den Seitenlängen \frac{3}{2}a und a\, sowie einem aufgesetzten gleichschenkligen Dreieck der Höhe a\,.


a) Zeigen Sie, dass für den Rauminhalt V des Zelts und für den Flächeninhalt S der benötigten Zeltplane (ohne Boden und Laschen, das Zelt ist vollständig geschlossen) gilt:

V=\frac{9}{4}a^{2}b

S=\frac{9}{2}a^{2}+ \frac{9}{2}ab.

Andre Etzel Abi 03 II 2a.jpg

b) Bestimmen Sie a und b so, dass V = 121,5 m^{3}\, ist und dass der Materialverbrauch an Zeltplane möglichst gering ist. Wie viele m^{2}\, Zeltplane werden in diesem Fall benötigt?


Andre Etzel Abi 03 II 2b.jpg



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