2003 II: Unterschied zwischen den Versionen

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'''Aufgabe 1'''<br />
  
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Gegeben ist die Schar der in IR definierten Funktionen
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<math>f_k(x)=\frac{1}{2}\cdot(k-x)\cdot \sqrt{e^{x}}</math> mit <math>k \in \mathbb R</math> . Der jeweilige Graph von <math>f_k\,</math> wird mit
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<math>G_k\,</math> bezeichnet.<br />
  
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a) Geben Sie <math>f_k(0)\,</math> sowie die Nullstelle von <math>f_k\,</math> an.
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Untersuchen Sie das Verhalten von <math> f_k\,</math> für <math>x\rightarrow -\infty</math>  und für <math>x\rightarrow +\infty</math>
  
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b) Zeigen Sie, dass <math>f^{'}_k(x)= \frac{1}{2}f_{k-2}(x)</math>
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gilt, und ermitteln Sie hiermit
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Funktionsterme der Ableitungen <math>f^{''}_k\,</math> und <math>f^{'''}_k\,</math> sowie einer Stammfunktion
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von <math>f_k\,</math> .
  
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c) Zeigen Sie, dass <math>G_k\,</math> genau einen Hochpunkt und genau einen Wendepunkt
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besitzt, und bestimmen Sie die Koordinaten dieser Punkte.
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Gegeben ist die Schar der Funktionen <math>f_{k}:x = \frac{x^2}{1-kx^2} </math> mit der maximalen Definitionsmenge D<sub>k</sub> und k <math>\in </math> IR. G<sub>k</sub> bezeichnet den Graphen von f<sub>k</sub>.
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a) Bestimmen Sie für k < 0 und k > 0 jeweils die Definitionsmenge D<sub>k</sub>. Untersuchen Sie für k <math>\neq </math> 0 das Verhalten von f<sub>k</sub> für <math>x \to \infty</math> und <math>x \to -\infty</math>. Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten an.  
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d) Zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse <math>G_4\,</math>
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und <math>G_6\,</math> in ein gemeinsames Koordinatensystem ein.
  
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b) Zeigen Sie, dass gilt: <math>f'_{k} (x) = \frac{2x}{\left(1 - kx^2\right)^2 } </math>.
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<ggb_applet width="795" height="512"  version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
  
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Begründen Sie, dass alle Graphen G<sub>k</sub> einen gemeinsamen Tiefpunkt besitzen.
 
  
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e) <math>G_4\,</math> schließt im zweiten Quadranten mit den Koordinatenachsen ein
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sich ins Unendliche erstreckendes Flächenstück ein. Begründen Sie,
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dass dieses einen endlichen Inhalt hat.
  
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c) Skizzieren Sie G<sub>-1</sub> und G<sub>1</sub> in ein gemeinsames Koordinatensystem. Zeichnen Sie auch alle vorhandenen Asymptoten ein.
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d) Beschreiben Sie für den Fall k < 0, wie sich die Lage der waagerechten Asymptote von G<sub>k</sub> für <math>k \to -\infty</math> und <math>k \to 0</math> jeweils verändert.
 
  
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f) Geben Sie an, welche Bedeutung die Funktion <math>2 \cdot f_6\,</math> für die Funktion
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<math>f_4\,</math> hat. Bestimmen Sie mit Hilfe von <math>G_6\,</math> aus Ihrer Zeichnung die positive
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Zahl z (auf eine Dezimale genau), für die <math>\int_{0}^{z} f_4 (x)\,dx =0</math>
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ist.
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Tragen Sie dazu entsprechende Hilfslinien in die Zeichnung ein und
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erläutern Sie Ihr Vorgehen.
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Überprüfen Sie Ihre graphisch gewonnene Näherungslösung, indem
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Sie z mit Hilfe des Taschenrechners auf eine Dezimale genau ermitteln.
  
 
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e) Bestimmen Sie k zunächst so, dass G<sub>k</sub> durch den Punkt P (1|2) verläuft.
 
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Zeigen Sie dann, dass durch jeden beliebigen Punkt, der nicht auf einer der Koordinatenachsen liegt, genau ein Graph G<sub>k</sub> verläuft.
 
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;Aufgabe 2  
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'''Aufgabe 2'''<br />
  
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Das nebenstehende Diagramm zeigt, wie die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs von der Zeit abhängt; der zugehörige Funktionsterm für 0 <math>\leq </math> t <math>\leq </math> 10 ist <math>v (t) = 7t * e^{-0,1t} </math>.  
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Das abgebildete Zelt [[Bild:Straßheimer_Florian_Graph_abiaufgabe_03.jpg‎ |250px| right]] - geometrisch betrachtet
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ein gerades Prisma - hat einen rechteckigen
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Grundriss mit den Seitenlängen <math>\frac{3}{2}a</math>  
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und <math>b\,</math>
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. Die Front besteht aus einem Rechteck mit
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den Seitenlängen <math>\frac{3}{2}a</math> und <math>a\,</math> sowie einem
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aufgesetzten gleichschenkligen Dreieck der
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Höhe <math>a\,</math>.
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a) Zeigen Sie, dass für den Rauminhalt V des Zelts und für den Flächeninhalt
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S der benötigten Zeltplane (ohne Boden und Laschen, das
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Zelt ist vollständig geschlossen) gilt:
  
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Dabei bezeichnet v die Maßzahl der in Metern pro Sekunde gemessenen Geschwindigkeit, t die Maßzahl der in Sekunden gemessenen Zeit.
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<math>V=\frac{9}{4}a^{2}b</math>
  
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Der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen, der t-Achse und der Geraden t = t<sub>0</sub> entspricht dem während der ersten t<sub>0</sub> Sekunden zurückgelegten Weg (in Metern).  
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<math>S=\frac{9}{2}a^{2}+ \frac{9}{2}ab</math>.
  
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a) Berechnen Sie den Weg, den das Fahrzeug in den ersten 10 Sekunden zurücklegt.
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b) Bestimmen Sie a und b so, dass <math>V = 121,5 m^{3}\,</math> ist und dass der Materialverbrauch
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an Zeltplane möglichst gering ist. Wie viele <math>m^{2}\,</math> Zeltplane
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werden in diesem Fall benötigt?
  
 
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Ab dem Zeitpunkt t = 10 wird das Fahrzeug bis zum Stillstand abgebremst. Dabei wird die Abhängigkeit der Geschwindigkeit von der Zeit durch eine lineare Funktion beschrieben.
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b) Ermitteln Sie die Steigung dieser linearen Funktion, wenn der Bremsweg 122,5 Meter beträgt.
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Aktuelle Version vom 18. April 2010, 12:10 Uhr


Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2006
Infinitesimalrechnung II


Download der Originalaufgaben: Abitur 2003 LK Mathematik Bayern - Lösung gesamt


Erarbeitet von Straßheimer Florian, Etzel Andre


Aufgabe 1

Gegeben ist die Schar der in IR definierten Funktionen f_k(x)=\frac{1}{2}\cdot(k-x)\cdot \sqrt{e^{x}} mit k \in \mathbb R . Der jeweilige Graph von f_k\, wird mit G_k\, bezeichnet.

a) Geben Sie f_k(0)\, sowie die Nullstelle von f_k\, an. Untersuchen Sie das Verhalten von f_k\, für x\rightarrow -\infty und für x\rightarrow +\infty

[Lösung anzeigen]

b) Zeigen Sie, dass f^{'}_k(x)= \frac{1}{2}f_{k-2}(x) gilt, und ermitteln Sie hiermit Funktionsterme der Ableitungen f^{''}_k\, und f^{'''}_k\, sowie einer Stammfunktion von f_k\, .

[Lösung anzeigen]

c) Zeigen Sie, dass G_k\, genau einen Hochpunkt und genau einen Wendepunkt besitzt, und bestimmen Sie die Koordinaten dieser Punkte.

[Lösung anzeigen]


d) Zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse G_4\, und G_6\, in ein gemeinsames Koordinatensystem ein.

[Lösung anzeigen]


e) G_4\, schließt im zweiten Quadranten mit den Koordinatenachsen ein sich ins Unendliche erstreckendes Flächenstück ein. Begründen Sie, dass dieses einen endlichen Inhalt hat.

[Lösung anzeigen]


f) Geben Sie an, welche Bedeutung die Funktion 2 \cdot f_6\, für die Funktion f_4\, hat. Bestimmen Sie mit Hilfe von G_6\, aus Ihrer Zeichnung die positive Zahl z (auf eine Dezimale genau), für die \int_{0}^{z} f_4 (x)\,dx =0 ist. Tragen Sie dazu entsprechende Hilfslinien in die Zeichnung ein und erläutern Sie Ihr Vorgehen. Überprüfen Sie Ihre graphisch gewonnene Näherungslösung, indem Sie z mit Hilfe des Taschenrechners auf eine Dezimale genau ermitteln.

[Lösung anzeigen]


Aufgabe 2

Das abgebildete Zelt
Straßheimer Florian Graph abiaufgabe 03.jpg
- geometrisch betrachtet

ein gerades Prisma - hat einen rechteckigen Grundriss mit den Seitenlängen \frac{3}{2}a und b\, . Die Front besteht aus einem Rechteck mit den Seitenlängen \frac{3}{2}a und a\, sowie einem aufgesetzten gleichschenkligen Dreieck der Höhe a\,.


a) Zeigen Sie, dass für den Rauminhalt V des Zelts und für den Flächeninhalt S der benötigten Zeltplane (ohne Boden und Laschen, das Zelt ist vollständig geschlossen) gilt:

V=\frac{9}{4}a^{2}b

S=\frac{9}{2}a^{2}+ \frac{9}{2}ab.

[Lösung anzeigen]

b) Bestimmen Sie a und b so, dass V = 121,5 m^{3}\, ist und dass der Materialverbrauch an Zeltplane möglichst gering ist. Wie viele m^{2}\, Zeltplane werden in diesem Fall benötigt?

[Lösung anzeigen]



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