2003 I: Unterschied zwischen den Versionen

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; Zeichnen Sie mit Hilfe der Funktionswerte g(-1) , g(1) und g(2) den Graphen von g im Bereich -2<math>\le</math>x<math>\le</math>2  in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit 2 cm. <br />
 
; Erläutern Sie, wie der Graph von g<sup>*</sup>  aus dem Graphen von g und schließlich der Graph von f<sub>1</sub> aus den Graphen von g und g<sup>*</sup>  entsteht. Zeichnen Sie die Graphen von g<sup>*</sup>  und f<sub>1</sub> in das vorhandene Koordinatensystem. <div align="right">''6 BE''</div>
 
; Erläutern Sie, wie der Graph von g<sup>*</sup>  aus dem Graphen von g und schließlich der Graph von f<sub>1</sub> aus den Graphen von g und g<sup>*</sup>  entsteht. Zeichnen Sie die Graphen von g<sup>*</sup>  und f<sub>1</sub> in das vorhandene Koordinatensystem. <div align="right">''6 BE''</div>
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; ''Die Funktion f<sub>1</sub> gehört der Funktionenschar f<sub>k</sub>: x → <math>{e^{kx}+e^{-kx} \over 2k}</math> mit D = <math>\mathbb{R}</math> und k<math>\in</math><math>\mathbb{R}</math><sup>+</sup> an.''
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;b) Lässt man das im 1. Quadranten liegende, von G<sub>1</sub>, der positiven y-Achse und der Geraden mit der Gleichung y = 10 begrenzte Flächenstück um die y-Achse rotieren, entsteht ein kelchförmiger Körper. Berechnen Sie dessen Durchmesser d am oberen Rand.
 
;b) Lässt man das im 1. Quadranten liegende, von G<sub>1</sub>, der positiven y-Achse und der Geraden mit der Gleichung y = 10 begrenzte Flächenstück um die y-Achse rotieren, entsteht ein kelchförmiger Körper. Berechnen Sie dessen Durchmesser d am oberen Rand.
 
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; Die Spannweite am Boden (Außenmaße)und die Höhe des 1965 in St. Louis, Missouri, errichteten Gateway Arch betragen jeweils 631 feet. Das Foto zeigt eine Schrägansicht des Bogens. In einem Koordinatensystem mit der Längeneinheit 1 foot kann die äußere Begrenzung des Bogens durch einen umgedrehten Graphen G<sub>k</sub>  angenähert werden. Erstellen Sie einen Ansatz zur Berechnung von k und zeigen Sie, dass der Wert k=2<sup>-7</sup>  eine gute Näherungslösung ist. <div align="right">''6 BE''</div>
 
; Die Spannweite am Boden (Außenmaße)und die Höhe des 1965 in St. Louis, Missouri, errichteten Gateway Arch betragen jeweils 631 feet. Das Foto zeigt eine Schrägansicht des Bogens. In einem Koordinatensystem mit der Längeneinheit 1 foot kann die äußere Begrenzung des Bogens durch einen umgedrehten Graphen G<sub>k</sub>  angenähert werden. Erstellen Sie einen Ansatz zur Berechnung von k und zeigen Sie, dass der Wert k=2<sup>-7</sup>  eine gute Näherungslösung ist. <div align="right">''6 BE''</div>
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Aktuelle Version vom 11. April 2010, 16:57 Uhr


Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2003
Infinitesimalrechnung I


Download der Originalaufgaben: Abitur 2003 LK Mathematik Bayern - Lösung gesamt


Erarbeitet von Lukas Baumüller, Florian Wilk
Aufgabe 1


a) Gegeben sind die in \mathbb{R} definierten Funktionen

g: x → {e^x \over 2} , g*:x → {e^{-x} \over 2} und f1: x → {e^x+e^{-x} \over 2} .

Zeichnen Sie mit Hilfe der Funktionswerte g(-1) , g(1) und g(2) den Graphen von g im Bereich -2\lex\le2 in ein Koordinatensystem mit der Längeneinheit 2 cm.
Erläutern Sie, wie der Graph von g* aus dem Graphen von g und schließlich der Graph von f1 aus den Graphen von g und g* entsteht. Zeichnen Sie die Graphen von g* und f1 in das vorhandene Koordinatensystem.
6 BE


Hinweis: Die Entstehung von Graphen aus anderen Graphen kann in diesem Lernpfad wiederholt werden.


Abi 2003 I Lösung 1a.png


Die Funktion f1 gehört der Funktionenschar fk: x → {e^{kx}+e^{-kx} \over 2k} mit D = \mathbb{R} und k\in\mathbb{R}+ an.
Der Graph von fk wird mit Gk bezeichnet.



b) Welches Symmetrieverhalten weist Gk auf?
Bestimmen Sie das Monotonieverhalten von fk und geben Sie die Koordinaten des Extrempunktes an.
5 BE


Abi 2003 I Lösung 1b.png


c) Nun wird die Integralfunktion Fk
x → \int\limits_{0}^{x} f_k(t)dt mit dem Definitionsbereich \mathbb{R} betrachtet.
Bestimmen Sie ohne Berechnung der integralfreien Darstellung von Fk das Symmetrie-, Monotonie- und Krümmungsverhalten des Graphen von Fk (kurze Begründung).
6 BE


Abi 2003 I Lösung 1c.png



d) Ermitteln Sie eine integralfreie Darstellung von F1(x) und zeigen Sie die Gültigkeit der Beziehung [f1(x)]2=1+[F1(x)]2 für alle x\in\mathbb{R}.
Konstruieren Sie mittels dieser Beziehung den Wert J des Integrals \int\limits_{0}^{2} f_1(x)dx als Streckenlänge in Ihrer Zeichnung und markieren Sie die zugehörige Strecke farbig.
8 BE


Abi 2003 I Lösung 1d 1.png Abi 2003 I Lösung 1d 2.png



Aufgabe 2


a) Ermitteln Sie die beiden Stellen x1 und x2 , an denen die Funktion f1 den Wert m (m > 1) annimmt.
4 BE

[Ergebnis: x_{1/2}=ln(m\pm\sqrt{m^2-1}]



Abi 2003 I Lösung 2a.png Abi 2003 I 2a Zusatz.png


b) Lässt man das im 1. Quadranten liegende, von G1, der positiven y-Achse und der Geraden mit der Gleichung y = 10 begrenzte Flächenstück um die y-Achse rotieren, entsteht ein kelchförmiger Körper. Berechnen Sie dessen Durchmesser d am oberen Rand.
Geben Sie einen Ansatz für das Volumen V des Kelches an (Berechnung ist nicht verlangt).
5 BE


Abi 2003 I Lösung 2b.png



Aufgabe 3
Die Spannweite am Boden (Außenmaße)und die Höhe des 1965 in St. Louis, Missouri, errichteten Gateway Arch betragen jeweils 631 feet. Das Foto zeigt eine Schrägansicht des Bogens. In einem Koordinatensystem mit der Längeneinheit 1 foot kann die äußere Begrenzung des Bogens durch einen umgedrehten Graphen Gk angenähert werden. Erstellen Sie einen Ansatz zur Berechnung von k und zeigen Sie, dass der Wert k=2-7 eine gute Näherungslösung ist.
6 BE

Abi 2003 I 3 Skizze.png Abi 2003 I Lösung 3.png



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