2004 VI: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 7. April 2010, 14:38 Uhr

Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2004 Analytische Geometrie VI

Download der Originalaufgaben: Abitur 2004 LK Mathematik Bayern - Lösung gesamt

Erarbeitet von Luka Hornung, Jan-Peter Neutert

In einem kartesischen Koordinatensystem des R³ sind die Punkte $O \left( 0 / 0 / 0 \right)$ , $A \left( 10 / 0 / 0 \right)$ , $B \left( 0 / 4 / 0 \right)$ , $S \left( 0 / 0 / 6 \right)$ sowie die Ebenenschar E_t: 3x₂ + tx₃ - 3t = 0 mit t $\in$ R gegeben. Die Punkte A, B und S legen die Ebene F fest.

Aufgabe 1

a) Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene F in Normalenform.

3 BE

[mögliches Ergebnis: 6x₁ + 15x₂ + 10x₃ - 60 = 0]

b) Berechnen Sie, unter welchem Winkel die Ebene F die x₁x₂ - Ebene schneidet.

3 BE

c) Zeigen Sie, dass die Ebene E₂ parallel zur Geraden BS ist.

3 BE

d) Zeigen Sie, dass die zu AO parallele Mittelparallele des Dreiecks AOS identisch ist mit der Geraden p, die alle Ebenen der Schar E_t gemeinsam haben.

5 BE

Aufgabe 2

Die Punkte A, B, O und S bilden die Ecken der Pyramide ABOS.

a) Legen Sie ein Koordinatensystem an. Zeichnen Sie die Pyramide ABOS, die Gerade p und die Schnittfläche der Ebene E₂ mit der Pyramide ein.

5 BE

b) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide ABOS.

3 BE

c) Zeigen Sie, dass die Ebene E₂ die Pyramide ABOS in zwei Teilkörper mit gleichem Volumen zerlegt.

6 BE

(Hinweis: Zerlegen Sie einen der beiden Teilkörper in ein dreiseitiges Prisma und eine dreiseitige Pyramide.)

Aufgabe 3

a) Zeigen Sie, dass $M \left( 1,2 / 1,2 / 1,2 \right)$ der Mittelpunkt der Inkugel K der Pyramide ABOS ist.

5 BE

b) Die Ebenenschar E_t enthält neben der x₁x₃ - Ebene eine weitere Tangentialebene von K. Berechnen Sie den zugehörigen Wert von t.

7 BE

@@ Zeile 24: / Zeile 24: @@
 <tr><td  width="800px" valign="top">
-In einem kartesischen Koordinatensystem des '''R'''<sup>3</sup> sind die Punkte O <math>\left( 0 / 0 / 0 \right)</math>, A <math>\left( 10 / 0 / 0 \right)</math>, B <math>\left( 0 / 4 / 0 \right)</math>, S <math>\left( 0 / 0 / 6 \right)</math> sowie die Ebenenschar E<sub>t</sub>: 3x<sub>2</sub> + tx<sub>3</sub> - 3t = 0 mit t <math>\in</math> '''R''' gegeben. Die Punkte A, B und S legen die Ebene F fest.
+In einem kartesischen Koordinatensystem des '''R'''<sup>3</sup> sind die Punkte <math>O \left( 0 / 0 / 0 \right)</math>, <math>A \left( 10 / 0 / 0 \right)</math>, <math>B \left( 0 / 4 / 0 \right)</math>, <math>S \left( 0 / 0 / 6 \right)</math> sowie die Ebenenschar E<sub>t</sub>: 3x<sub>2</sub> + tx<sub>3</sub> - 3t = 0 mit t <math>\in</math> '''R''' gegeben. Die Punkte A, B und S legen die Ebene F fest.
+</td></tr></table></center>
+<div style="padding:1px;background: #EEEEE6;border:0px groove;">
+<center><table border="0" width="800px" cellpadding=5 cellspacing=15>
+<tr><td  width="800px" valign="top">
 ;Aufgabe 1
-:a) Bestimmen Se eine Gleichung der Ebene F in Normalenform.<div align="right">''3 BE''</div>
+:'''a)''' Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene F in Normalenform.<div align="right">''3 BE''</div>
+::[mögliches Ergebnis: 6x<sub>1</sub> + 15x<sub>2</sub> + 10x<sub>3</sub> - 60 = 0]
+:{{Lösung versteckt|
+[[Bild:Abitur 2004 VI Aufg 1a.jpg|750px]]
+}}
-:::[mögliches Ergebnis: 6x<sub>1</sub> + 15x<sub>2</sub> + 10x<sub>3</sub> - 60 = 0]
+:'''b)''' Berechnen Sie, unter welchem Winkel die Ebene F die x<sub>1</sub>x<sub>2</sub> - Ebene schneidet. <div align="right">''3 BE''</div>
 :{{Lösung versteckt|
+[[Bild:Abitur 2004 VI Aufg 1b.jpg|750px]]
 }}
+:'''c)''' Zeigen Sie, dass die Ebene E<sub>2</sub> parallel zur Geraden BS ist. <div align="right">''3 BE''</div>
+:{{Lösung versteckt|
+[[Bild:Abitur 2004 VI Aufg 1c.jpg|750px]]
+}}
+:'''d)''' Zeigen Sie, dass die zu AO parallele Mittelparallele des Dreiecks AOS identisch ist mit der Geraden p, die alle Ebenen der Schar E<sub>t</sub> gemeinsam haben. <div align="right">''5 BE''</div>
+:{{Lösung versteckt|
+[[Bild:Abitur 2004 VI Aufg 1d.jpg|750px]]
+}}
 </td></tr></table></center>
-</div>
+<div style="padding:1px;background: #EEEEE6;border:0px groove;">
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+;Aufgabe 2
+Die Punkte A, B, O und S bilden die Ecken der Pyramide ABOS.
+:'''a)''' Legen Sie ein Koordinatensystem an. Zeichnen Sie die Pyramide ABOS, die Gerade p und die Schnittfläche der Ebene E<sub>2</sub> mit der Pyramide ein. <div align="right">''5 BE''</div>
+:{{Lösung versteckt|
+[[Bild:Abitur 2004 VI Aufg 2a.jpg|750px]]
+}}
+:'''b)''' Berechnen Sie das Volumen der Pyramide ABOS. <div align="right">''3 BE''</div>
+:{{Lösung versteckt|
+[[Bild:Abitur 2004 VI Aufg 2b.jpg|750px]]
+}}
+:'''c)''' Zeigen Sie, dass die Ebene E<sub>2</sub> die Pyramide ABOS in zwei Teilkörper mit gleichem Volumen zerlegt. <div align="right">''6 BE''</div>
+(Hinweis: Zerlegen Sie einen der beiden Teilkörper in ein dreiseitiges Prisma und eine dreiseitige Pyramide.)
+:{{Lösung versteckt|
+[[Bild:Abitur 2004 VI Aufg 2c.jpg|750px]]
+}}
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+;Aufgabe 3
+:'''a)''' Zeigen Sie, dass <math>M \left( 1,2 / 1,2 / 1,2 \right)</math> der Mittelpunkt der Inkugel K der Pyramide ABOS ist. <div align="right">''5 BE''</div>
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+:'''b)''' Die Ebenenschar E<sub>t</sub> enthält neben der x<sub>1</sub>x<sub>3</sub> - Ebene eine weitere Tangentialebene von K. Berechnen Sie den zugehörigen Wert von t. <div align="right">''7 BE''</div>
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+[[Bild:Abitur 2004 VI Aufg 3b.jpg|750px]]
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