2009 II: Unterschied zwischen den Versionen

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Aktuelle Version vom 1. April 2010, 12:01 Uhr


Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2009
Infinitesimalrechnung II


Download der Originalaufgaben: Abitur 2009 LK Mathematik Bayern - Lösungen zum Ausdrucken


Lösungen erstellt von: Melissa Gehrig



Aufgabe 1

Gegeben ist die Schar der Funktionen f_a : x \mapsto a^3 x^2 e^{-ax} mit a ∈ IR+ und der Definitionsmenge IR . Der Graph von fa wird mit Ga bezeichnet. Die Abbildung zeigt Ga für a = 0,04.

ABI 2009 II Grafik A1.jpg


a) Untersuchen Sie am Funktionsterm das Verhalten von fa für x → −∞ und x → +∞. Begründen Sie, dass Ga nie unterhalb der x-Achse verläuft.
3 BE
ABI 2009 II 1a Lös.jpg


b) Bestimmen Sie Art und Lage der Extrempunkte von Ga. [Zur Kontrolle: Tiefpunkt bei x = 0 und Hochpunkt bei x = \textstyle \frac{2}{a}]
7 BE
ABI 2009 II 1b Lös.jpg


Aufgabe 2

Nun werden die in IR definierten Integralfunktionen F_a : x \mapsto \int\limits_{0}^{x} f_a(t)dt betrachtet.

a) Begründen Sie ohne Ausführung der Integration, dass der Graph von Fa für alle a ∈ IR+ durch den Koordinatenursprung verläuft und dort einen Terrassenpunkt besitzt.
4 BE
ABI 2009 II 2a Lös.jpg


b) Berechnen Sie durch partielle Integration einen integralfreien Term für Fa . Geben Sie den Grenzwert von Fa für x → +∞ an und interpretieren Sie das Ergebnis am Graphen Ga. [Teilergebnis: Fa = 2 - e-ax · (a2x2 + 2ax + 2)]
10 BE
ABI 2009 II 2b Lös.jpg


c) Nun sei a = 0,04 . Der Graph der Funktion F0,04 besitzt für x > 0 einen Wendepunkt W. Bestimmen Sie die Koordinaten von W. Skizzieren Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse den Graphen von F0,04 im Bereich − 30 ≤ x ≤ 200 in ein Koordinatensystem (x-Achse: 50 LE ≙ 2,5 cm, y-Achse: 1 LE ≙ 2,5 cm). Verwenden Sie dazu ohne Nachweis: F0,04(−30) ≈ −1,45 und F0,04(200) ≈1,97 .
6 BE

ABI 2009 II 2c Lös.jpg

ABI 2009 II 2c Lös2.jpg


Aufgabe 3

Die Gruppe „Die toten Rosen“ gibt ein Konzert. Es beginnt um 20 Uhr, der Einlass wird ab 18 Uhr gewährt. Der Besucherzustrom soll durch eine Funktion g der Form g(x) = k ⋅ fa (x) mit geeignetem a und geeignetem k > 0 modelliert werden. Dabei bedeutet x die seit 18 Uhr vergangene Zeit in Minuten. g(x) gibt die momentane Zunahme der Besucherzahl in Besucher pro Minute an.


a) Bestimmen Sie die Parameter a und k, wenn das Maximum der Funktion g um 18.50 Uhr auftritt und 26 Besucher pro Minute beträgt.
5 BE
ABI 2009 II 3a Lös.jpg


b) Berechnen Sie für a = 0,04 und k = 1200 unter Verwendung des in Teilaufgabe 2b ermittelten Terms Fa (x) das Integral \int\limits_{0}^{120} g(x)dx und interpretieren Sie das Ergebnis im Anwendungszusammenhang.
5 BE
ABI 2009 II 3b Lös.jpg


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