2003 IV: Unterschied zwischen den Versionen

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<center><big>'''Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2006'''</big></center>
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<center>[http://www.isb.bayern.de/isb/download.aspx?DownloadFileID=56690cea22e20298b306940dfaa656c6 '''Download der Originalaufgaben: Abitur 2003 LK Mathematik Bayern''']  -  [[Media:Burkard Christian_Mathlk03.pdf|Lösung gesamt]]</center>
  
  
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Die Firma VEGAS hat ein neues Gesellschaftsspiel entwickelt, bei dem
 
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neben Laplace-Würfeln auch spezielle Vegas-Würfel verwendet werden, die
 
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sich äußerlich von den Laplace-Würfeln nicht unterscheiden. Die Vegas-
 
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Würfel zeigen die Augenzahl „6“ mit der erhöhten Wahrscheinlichkeit <math>\frac{1}{3}</math>  ,
 
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während die anderen Augenzahlen untereinander gleich wahrscheinlich sind.
 
 
;Aufgabe 1
 
;Aufgabe 1
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Zeigen Sie, dass der Erwartungswert der Zufallsgröße „Augenzahl beim einmaligen Werfen eines Vegas-Würfels“ 4 ist.  
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Im Januar 2002 war in einer Zeitung zu lesen, dass die neuen Euro-
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Münzen keine Laplace-Münzen seien. Bei einem Experiment mit einer
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2-Euro-Münze, die man 1000-mal auf dem Tisch kreiseln ließ, sei
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600-mal Zahl oben liegen geblieben.
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Zeigen Sie, dass bereits bei 200 Würfen einer Laplace-Münze die
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Wahrscheinlichkeit dafür, dass in wenigstens 60 % der Fälle Zahl
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oben liegen bleibt, kleiner als 0,5 % ist.
  
 
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Begründen Sie, dass die Stabdiagramme der Binomialverteilungen
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mit p = 0,5 achsensymmetrisch sind. Geben Sie die Symmetrieachse
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an.
  
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Ermitteln Sie mit Hilfe der Ungleichung von Tschebyschow eine
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möglichst kleine obere Schranke für die Wahrscheinlichkeit, bei 1000
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Würfen einer Laplace-Münze wenigstens 600-mal Zahl zu erhalten.
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Vergleichen Sie diesen Wert mit dem Ergebnis aus Teilaufgabe 1a
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und nehmen Sie dazu kurz Stellung.
  
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;Aufgabe 2
 
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Auf dem Tisch liegen ungeordnet drei Laplace-Würfel und ein Vegas-Würfel. Ein Spieler nimmt davon zufällig drei Würfel und wirft sie gleich¬zeitig.
 
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Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt er drei gleiche Augenzahlen, wenn er drei Laplace-Würfel genommen hat? Mit welcher Wahrschein-lichkeit erzielt er drei gleiche Augenzahlen, wenn er zwei Laplace-Würfel und den Vegas-Würfel genommen hat?
 
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Welche Folgerung können Sie aus Ihren Ergebnissen bezüglich der stochastischen Abhängigkeit der Ereignisse „Er erzielt drei gleiche Augenzahlen“ und „Er nimmt drei Laplace-Würfel“ ziehen?
 
 
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Aufgrund des Zeitungsartikels führte ein Schüler eine eigene Versuchsreihe
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durch. Er ließ eine 2-Euro-Münze 250-mal auf dem Tisch
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kreiseln; dabei blieb 139-mal Zahl oben.
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Stellen Sie durch Näherung mit der Normalverteilung fest, ob dieses
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Ergebnis auf einem Niveau von 5 % signifikant dafür ist, dass bei
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dieser Münze häufiger Zahl oben liegen bleibt als bei einer Laplace-
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Münze.
  
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;Aufgabe 3
 
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Um bei einem Würfel festzustellen, ob es sich um einen Laplace- oder Vegas-Würfel handelt, wird er 100 mal geworfen. Ein Vegas-Würfel soll mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 99 % als solcher eingestuft werden.
 
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;a)
 
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Bestimmen Sie hierzu die Entscheidungsregel anhand der Anzahl der geworfenen Sechser so, dass möglichst auch ein Laplace-Würfel richtig eingestuft wird.
 
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[Ergebnis: Entscheidung für Vegas-Würfel ab 23 geworfenen Sechsern]
 
 
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Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird bei dieser Entscheidungsregel ein Laplace-Würfel falsch eingestuft?
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Eine Packung des Spiels enthält – ungeordnet und äußerlich nicht unter-scheidbar – 7 Laplace- und 3 Vegas-Würfel.
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;Aufgabe 4
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;Aufgabe 2
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Aus dieser Packung wird ein Würfel entnommen und 100-mal geworfen. Mit welcher Wahrschein¬lichkeit handelt es sich um einen Vegas-Würfel, wenn dabei 25-mal eine „6“ geworfen wird?  
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Auf dem Schulfest des Laplace-Gymnasiums wurde untersucht, welchen
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Einfluss es hat, ob eine 2-Euro-Münze geworfen oder auf dem Tisch gekreiselt
 +
wird. Jeder Schüler durfte selbst entscheiden, ob er lieber werfen
 +
oder kreiseln wollte. In der Schülerzeitung war anschließend Folgendes
 +
zu lesen:
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“70 % der Schüler kreiselten die Münze. Insgesamt ist in 56 % aller Fälle
 +
Zahl oben liegen geblieben, wobei davon 72,5 % durch Kreiseln erzielt
 +
worden sind.“
 +
Wie groß ist die relative Häufigkeit des Ereignisses „Zahl liegt oben“
 +
beim Werfen und wie groß ist sie beim Kreiseln?
 +
 
 
:{{Lösung versteckt|
 
:{{Lösung versteckt|
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[[Bild:4.jpg]]
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[[Bild:Burkard Christian_2.jpg]]
 
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;Aufgabe 5
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;Aufgabe 3
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Die 10 Würfel werden nun einzeln nacheinander aus der Packung ent-nommen und je 100-mal geworfen.  
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Eine Laplace-Münze wird so oft geworfen, bis zweimal hintereinander
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die gleiche Seite oben liegen bleibt. Insgesamt wird aber höchstens n-mal
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geworfen. Die Zufallsgröße X sei die Anzahl der Würfe, E<sub>n</sub> (X) sei ihr
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Erwartungswert.
 
;a)
 
;a)
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Die Zufallsgröße X bezeichne die Anzahl der geworfenen Sechser unter den insgesamt 1000 durchzuführenden Würfen. Berechnen Sie Erwartungs¬wert und Varianz von X.
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Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei n-maligem Werfen immer
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[Ergebnis: <math>E(X)=216\frac{2}{3}, Var(X) = 163\frac{8}{9}</math>  ]
+
abwechselnd beide Seiten zu erhalten?
 
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[[Bild:Burkard Christian_3a.jpg]]
 
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;b)
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Die Zufallsgröße X ist näherungsweise normalverteilt. Berechnen Sie mit Hilfe der Normalverteilung, mit welcher Wahrscheinlichkeit bei den 1000 Würfen mehr als 225-mal eine „6“ geworfen wird.  
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Bestimmen Sie E<sub>2</sub> (X), E<sub>3</sub>(X) und E<sub>4</sub> (X) .
 
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;c)
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Zeigen Sie, dass gilt: E<sub>n+1</sub> (X)- E<sub>n</sub> (X) = 0,5<sup>n-1</sup>
  
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;Aufgabe 6
 
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Bei einem Spiel werden jeweils 5 Würfel geworfen. Aus den Augen-zahlen – aufgefasst als Ziffern – werden möglichst große fünfstellige natürliche Zahlen gebildet, z. B. 43321, nicht jedoch 34312.
 
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Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man eine Zahl größer als 50000, wenn es sich um 5 Laplace-Würfel handelt?
 
 
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[[Bild:6a.jpg]]
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[[Bild:Burkard Christian_3c.jpg]]
 
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;b)
 
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Wie viele verschiedene natürliche Zahlen können nach dieser Spiel-regel gebildet werden? Wählen Sie aus den folgenden kombina-torischen „Modellen“ zunächst das für dieses Problem passende aus und bestimmen Sie dann mit dessen Hilfe die gesuchte Anzahl.
 
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A) Anzahl der fünfstelligen Zahlen aus den Ziffern 1 bis 6 dividiert durch die Zahl der Permutationen von 5 Elementen
 
  
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B) Zahl der möglichen Verteilungen von 5 Kugeln auf 6 Urnen, wobei es nur auf die jeweilige Anzahl der Kugeln in den Urnen ankommt
+
;d)
 +
Erläutern Sie, warum E<sub>n</sub> (X) für n → + ∞ nicht größer als 3 wird,
 +
und interpretieren Sie diese Tatsache im vorliegenden Zufallsexperiment.
  
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C) Zahl der möglichen Verteilungen von 6 Kugeln auf 5 Urnen, wobei es nur auf die jeweilige Anzahl der Kugeln in den Urnen ankommt
 
 
:{{Lösung versteckt|
 
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[[Bild:6b.jpg]]
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[[Bild:Burkard Christian_3d.jpg]]
 
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Aktuelle Version vom 11. April 2010, 17:48 Uhr


Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2003
Stochastik IV


Download der Originalaufgaben: Abitur 2003 LK Mathematik Bayern - Lösung gesamt


Erarbeitet von Christian Burkard und Julius Schmidt



Aufgabe 1

Im Januar 2002 war in einer Zeitung zu lesen, dass die neuen Euro- Münzen keine Laplace-Münzen seien. Bei einem Experiment mit einer 2-Euro-Münze, die man 1000-mal auf dem Tisch kreiseln ließ, sei 600-mal Zahl oben liegen geblieben.

a)

Zeigen Sie, dass bereits bei 200 Würfen einer Laplace-Münze die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in wenigstens 60 % der Fälle Zahl oben liegen bleibt, kleiner als 0,5 % ist.

[Lösung anzeigen]


b)

Begründen Sie, dass die Stabdiagramme der Binomialverteilungen mit p = 0,5 achsensymmetrisch sind. Geben Sie die Symmetrieachse an.

[Lösung anzeigen]
c)

Ermitteln Sie mit Hilfe der Ungleichung von Tschebyschow eine möglichst kleine obere Schranke für die Wahrscheinlichkeit, bei 1000 Würfen einer Laplace-Münze wenigstens 600-mal Zahl zu erhalten. Vergleichen Sie diesen Wert mit dem Ergebnis aus Teilaufgabe 1a und nehmen Sie dazu kurz Stellung.

[Lösung anzeigen]
d)

Aufgrund des Zeitungsartikels führte ein Schüler eine eigene Versuchsreihe durch. Er ließ eine 2-Euro-Münze 250-mal auf dem Tisch kreiseln; dabei blieb 139-mal Zahl oben. Stellen Sie durch Näherung mit der Normalverteilung fest, ob dieses Ergebnis auf einem Niveau von 5 % signifikant dafür ist, dass bei dieser Münze häufiger Zahl oben liegen bleibt als bei einer Laplace- Münze.

[Lösung anzeigen]


Aufgabe 2

Auf dem Schulfest des Laplace-Gymnasiums wurde untersucht, welchen Einfluss es hat, ob eine 2-Euro-Münze geworfen oder auf dem Tisch gekreiselt wird. Jeder Schüler durfte selbst entscheiden, ob er lieber werfen oder kreiseln wollte. In der Schülerzeitung war anschließend Folgendes zu lesen: “70 % der Schüler kreiselten die Münze. Insgesamt ist in 56 % aller Fälle Zahl oben liegen geblieben, wobei davon 72,5 % durch Kreiseln erzielt worden sind.“ Wie groß ist die relative Häufigkeit des Ereignisses „Zahl liegt oben“ beim Werfen und wie groß ist sie beim Kreiseln?

[Lösung anzeigen]



Aufgabe 3

Eine Laplace-Münze wird so oft geworfen, bis zweimal hintereinander die gleiche Seite oben liegen bleibt. Insgesamt wird aber höchstens n-mal geworfen. Die Zufallsgröße X sei die Anzahl der Würfe, En (X) sei ihr Erwartungswert.

a)

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei n-maligem Werfen immer abwechselnd beide Seiten zu erhalten?

[Lösung anzeigen]
b)

Bestimmen Sie E2 (X), E3(X) und E4 (X) .

[Lösung anzeigen]
c)

Zeigen Sie, dass gilt: En+1 (X)- En (X) = 0,5n-1

[Lösung anzeigen]
d)

Erläutern Sie, warum En (X) für n → + ∞ nicht größer als 3 wird, und interpretieren Sie diese Tatsache im vorliegenden Zufallsexperiment.

[Lösung anzeigen]


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