2007 II: Unterschied zwischen den Versionen
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a) Untersuchen Sie das Verhalten von f an den Rändern des Definitionsbereichs. (Hinweis: <math>\lim_{x \to \infty} \frac{ln x}{x} </math> = 0 darf ohne Beweis verwendet werden.) | a) Untersuchen Sie das Verhalten von f an den Rändern des Definitionsbereichs. (Hinweis: <math>\lim_{x \to \infty} \frac{ln x}{x} </math> = 0 darf ohne Beweis verwendet werden.) | ||
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| + | Kleine '''Anmerkung''' zu <math>\lim_{x \to 1+} f(x)</math>: <br /> | ||
| + | <math>\ln (x)</math> strebt hier, analog zu <math>\ln (x)</math> beim Grenzwert für x<math>\rightarrow</math> 1<sup>-</sup>, genau genommen gegen 0<sup>+</sup> statt gegen 0. Ist aber für das Ergebnis egal (+<math>\infty</math>). | ||
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ohne Nachweis verwenden, dass für x >1 gilt: ln x < x −1. | ohne Nachweis verwenden, dass für x >1 gilt: ln x < x −1. | ||
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| + | '''Erläuterung:'''<br /> | ||
| + | Sei <math>\frac{x}{x-1}</math> = <math>g(x)</math>;<br /> | ||
| + | D<sub>g</sub> = IR\{+1}<br /> | ||
| + | <math>\Rightarrow</math> deswegen muss hier <math>\lim_{a \to 1}</math> verwendet werden (''uneigentliches Integral'')! | ||
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;Aufgabe 2 | ;Aufgabe 2 | ||
Ein kreiszylindrischer Becher, der zum Teil mit Wasser gefüllt ist, rotiert mit konstanter Rotationsgeschwindigkeit um seine Symmetrieachse. Die Oberfläche der Flüssigkeit ist eine Drehfläche, die durch Rotation einer Parabel entsteht. Die Symmetrieachse der Parabel fällt dabei mit der Symmetrieachse des Bechers zusammen. | Ein kreiszylindrischer Becher, der zum Teil mit Wasser gefüllt ist, rotiert mit konstanter Rotationsgeschwindigkeit um seine Symmetrieachse. Die Oberfläche der Flüssigkeit ist eine Drehfläche, die durch Rotation einer Parabel entsteht. Die Symmetrieachse der Parabel fällt dabei mit der Symmetrieachse des Bechers zusammen. | ||
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Das Koordinatensystem ist so gewählt, dass die zu Abb. 1 gehörende | Das Koordinatensystem ist so gewählt, dass die zu Abb. 1 gehörende | ||
Aktuelle Version vom 27. Februar 2010, 16:48 Uhr
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1. Gegeben ist die Funktion
 strebt hier, analog zu beim Grenzwert für x 1-, genau genommen gegen 0+ statt gegen 0. Ist aber für das Ergebnis egal (+ ).
 deswegen muss hier  verwendet werden (uneigentliches Integral)!
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mit dem maximalen Definitionsbereich Df = IR+ \ {1}. Der Graph von f wird mit Gf bezeichnet.
= 0 darf ohne Beweis verwendet werden.)
: 
]
und skizzieren Sie Gf unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse in ein Koordinatensystem.
.
Was folgt für 
? Begründen Sie Ihre Antwort. Dabei dürfen Sie
ohne Nachweis verwenden, dass für x >1 gilt: ln x < x −1.
= 
;
Ein kreiszylindrischer Becher, der zum Teil mit Wasser gefüllt ist, rotiert mit konstanter Rotationsgeschwindigkeit um seine Symmetrieachse. Die Oberfläche der Flüssigkeit ist eine Drehfläche, die durch Rotation einer Parabel entsteht. Die Symmetrieachse der Parabel fällt dabei mit der Symmetrieachse des Bechers zusammen.
Das Koordinatensystem ist so gewählt, dass die zu Abb. 1 gehörende
Parabel die Gleichung a) Betrachten Sie zunächst Abb. 1 und zeigen Sie mit Hilfe einer geeigneten Integration, dass folgende Aussage gilt: Das Volumen des Wassers ist im Bereich 0 ≤ y ≤ H halb so groß wie das Volumen eines Kreiszylinders mit Höhe H und Grundkreisradius R.
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besitzt.
