2007 V: Unterschied zwischen den Versionen

Aufgabe 1

Gegeben ist in einem kartesischen Koordinatensystem des IR³ die Ebenenschar E_k : kx₁ + k ²x₂ + 2x₃- k² = 0 , mit k ∈ IR als Scharparameter.

a) Ermitteln Sie, für welche Werte von k die Ebene E_k den Punkt P(1|2|-3)und zugleich den Punkt Q(0|1|0) enthält.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

b) Die beiden Ebenen E₂ und E_-3 schneiden sich in einer Geraden g. Ermitteln Sie eine Gleichung von g in Parameterform und

den Schnittwinkel der beiden Ebenen auf eine Dezimale gerundet.

    [mögliches Teilergebnis: g: , λ ∈ IR ]

Bestimmung der Gleichung in Parameterform

1. Lösungsweg:

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

2. Lösungsweg:

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

3. Lösungsweg: aus a) weiß man, dass P und Q auf allen Ebenen liegen; deshalb einen Punkt als Orstvektor nehmen und aus beiden Punkten den Richtungsvektor bestimmen (schnellster Lösungsweg)

Berechnung des Schnittwinkels

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

c) Mit e(k) werde der Betrag des Abstands der Ebene E_k vom Koordinatenursprung bezeichnet. Zeigen Sie, dass                                 e(k)= und dass e(k)<1 ist.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

d) Es gibt zwei Scharebenen, deren Schnittwinkel mit der x₃-Achse 30° besteht. Ermitteln Sie die zugehörigen Werte von k.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

e) Untersuchen Sie, ob die Gerade g aus Teilaufgabe 1b senkrecht auf einer Ebene der Schar E_k steht.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Aufgabe 2:

Nun ist weiter die Kugel K mit dem Mittelpunkt M(1|2|3) und dem Radius r= 6 gegeben. Die Scharebene E_-1 schneidet die Kugel K in einem Kreis k_s mit dem Mittelpunkt N und dem Radius r_s.

a) Berechnen Sie die Koordinaten N und den Radius r_s

[Ergebnis: N(2|1|1); r_s =]

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

b) Zeigen Sie, dass der Punkt R(3|6|-1) auf dem Schnittkreis k_s liegt, und stellen Sie eine Gleichung der Tangentialebene T

auf, die die Kugel K im Punkt R berührt.

[mögliches Teilergebnis: T:x₁+2x₂-2x₃-17=0]

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

c) Die Ebene E_-1 und die Tangentialebene an die Kugel K in allen Punkten des Schnittkreises k_s begrenzen einen geraden

Kreiskegel. Berechnen Sie das Volumen dieses Kegels.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

d) Zeigen Sie, dass der Punkt U(3|-2|-1) auf der Kugel K und innerhalb des Kreiskegels liegt.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]