2008 II: Unterschied zwischen den Versionen

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*[http://www.onlinemathe.de/al_upload/pdf/08_lk_inf_a2.pdf download '''Abitur 2008 LK Mathematik Bayern''']
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*[[Media:ABI 2008 II.doc|download Musterlösung gesamt]]
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'''Erstellt von Alistair Mainka und Benjamin Schleicher.'''
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<center><big>'''Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2008'''</big></center>
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== Aufgabe 1 ==
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<center>[http://www.isb.bayern.de/isb/download.aspx?DownloadFileID=6765c5a90ce67dce2877992c3f4e2d9f '''Download der Originalaufgaben: Abitur 2008 LK Mathematik Bayern'''] 
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<br />Erstellt von Alistair Mainka und Benjamin Schleicher.</center>
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Gegeben ist die Funktion <math>f(x)=e^{1-0,5x^2}</math> mit Definitionsbereich D<sub>f</sub> = IR .
 
Gegeben ist die Funktion <math>f(x)=e^{1-0,5x^2}</math> mit Definitionsbereich D<sub>f</sub> = IR .
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Koordinaten der Wendepunkte. (6BE)
 
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Die Integralfunktion F ist definiert durch <math>F(x)=\int_{0}^{x} f (t)\,dt</math>, x ∈ IR.
 
Die Integralfunktion F ist definiert durch <math>F(x)=\int_{0}^{x} f (t)\,dt</math>, x ∈ IR.
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b) Für x > 1 gilt offensichtlich
 
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Die Funktion f soll im Folgenden in einer Umgebung von x = 0 durch eine
 
Die Funktion f soll im Folgenden in einer Umgebung von x = 0 durch eine
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Polynomfunktion p mit dem Term <math>p(x) = ax4 + bx2 + c</math> , a, b, c ∈ IR ,
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Polynomfunktion p mit dem Term <math>p(x) = ax^4 + bx^2 + c</math> , a, b, c ∈ IR ,
 
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Ohne Nachweis darf verwendet werden: <math>f '''(0) = 0, f ''''(0) = 3e</math> (6BE)
 
Ohne Nachweis darf verwendet werden: <math>f '''(0) = 0, f ''''(0) = 3e</math> (6BE)
  
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[Zur Kontrolle: <math>p(x) = e(\frac{1}{8}x - \frac{1}{2} x2 + 1)</math>]
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[Zur Kontrolle: <math>p(x) = e \cdot (\frac{1}{8}x^4 - \frac{1}{2} x^2 + 1)</math>]
  
 
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c) Bestimmen Sie nun den Wert des Integrals <math>\int_{0}^{1} f (x)\,dx</math> mit Hilfe der
 
c) Bestimmen Sie nun den Wert des Integrals <math>\int_{0}^{1} f (x)\,dx</math> mit Hilfe der
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Gauß’schen ϕ-Funktion (<math>\varphi(x) \frac{1}{\sqrt{2\pi } } e<^{-0,5x^2}</math>) und dem stochastischen
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Gauß’schen <math> \varphi </math>-Funktion(<math>\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi } } e^{-0,5x^2}</math>) und dem stochastischen
 
Tafelwerk. Um wie viel Prozent weicht der Näherungswert aus
 
Tafelwerk. Um wie viel Prozent weicht der Näherungswert aus
 
Teilaufgabe 3b von diesem Ergebnis ab? (6BE)
 
Teilaufgabe 3b von diesem Ergebnis ab? (6BE)
  
 
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Aktuelle Version vom 15. Februar 2011, 14:51 Uhr


Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2008
Infinitesimalrechnung II


Download der Originalaufgaben: Abitur 2008 LK Mathematik Bayern
Erstellt von Alistair Mainka und Benjamin Schleicher.


Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion f(x)=e^{1-0,5x^2} mit Definitionsbereich Df = IR . Die Abbildung auf der folgenden Seite zeigt den Graphen Gf von f.

a) Untersuchen Sie Gf rechnerisch auf Symmetrie und Schnittpunkte mit den Achsen. Bestimmen Sie das Verhalten von f für x → + ∞ und x → − ∞. (4BE)

ABI 2008 II A1a Lös1.jpg

b) Zeigen Sie, dass gilt: f''(x)=(x^2-1)e^{1-0,5x^2}. Bestimmen Sie durch Rechnung das Monotonieverhalten von f und die Koordinaten der Wendepunkte. (6BE)

ABI 2008 II A1b Lös1.jpg



Aufgabe 2

Die Integralfunktion F ist definiert durch F(x)=\int_{0}^{x} f (t)\,dt, x ∈ IR.

a) Untersuchen Sie das Symmetrie-, Monotonie- und Krümmungsverhalten des Graphen von F. Bestimmen Sie aus der Abbildung mit Hilfe des Gitternetzes Näherungswerte für F(0,5), F(1), F(2) und F(4). Tragen Sie den Graphen von F im Bereich x ∈[−4;4] in die gegebene Abbildung ein. (8BE)

ABI 2008 II A2a Lös1.jpg

Könnt ihr die Abbildung mit dem eingezeichneten Graphen von F noch hochladen?

b) Für x > 1 gilt offensichtlich xe^{1-0,5x^2} > e^{1-0,5x^2}. Zeigen Sie damit, dass \int_{4}^{\infty } f (x)\,dx < 10^{-3} ist. Was folgt für die Funktionswerte von F für x ≥ 4? (5BE)

ABI 2008 II A2b Lös1.jpg

Bemerkung:
Zweiter Teil der Aufgabe fehlt: Funktionswerte von F(x) für x ≥ 4 sind sehr klein, F(x) liegt nur noch minimal über x-Achse.



Aufgabe 3

Die Funktion f soll im Folgenden in einer Umgebung von x = 0 durch eine Polynomfunktion p mit dem Term p(x) = ax^4 + bx^2 + c , a, b, c ∈ IR , angenähert werden.

a) Bestimmen Sie die Koeffizienten a, b und c so, dass f und p an der Stelle x = 0 im Funktionswert und in den Werten der 1. bis einschließlich 4. Ableitung übereinstimmen. Ohne Nachweis darf verwendet werden: f '''(0) = 0, f ''''(0) = 3e (6BE)

[Zur Kontrolle: p(x) = e \cdot (\frac{1}{8}x^4 - \frac{1}{2} x^2 + 1)]

ABI 2008 II A3a Lös1.jpg

b) Zeigen Sie, dass p keine Nullstelle besitzt. Berechnen Sie den Inhalt A der Fläche, die von den Koordinatenachsen, dem Graphen von p und der Geraden x = 1 eingeschlossen wird, auf 4 Dezimalen gerundet. (5BE)

[Zur Kontrolle: A ≈ 2,3332]

ABI 2008 II A3b Lös1.jpg

c) Bestimmen Sie nun den Wert des Integrals \int_{0}^{1} f (x)\,dx mit Hilfe der Gauß’schen \varphi -Funktion(\varphi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi } } e^{-0,5x^2}) und dem stochastischen Tafelwerk. Um wie viel Prozent weicht der Näherungswert aus Teilaufgabe 3b von diesem Ergebnis ab? (6BE)

ABI 2008 II A3c Lös1.jpg


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