2009 VI: Unterschied zwischen den Versionen

Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem des IR³ die Ebene F, die parallel zur x₃-Achse ist und die Punkte A(-2|1,5|6) und B(0|3|0) enthält, sowie die Ebenenschar E_a: 2x₁+2x₂+x₃-a=0 mit a ∈ IR.

a) Berechnen Sie eine Gleichung der Ebene F in Normalenform. [Zur Kontrolle: F: 3x₁-4x₂+12=0]

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b) Die Kugel K mit dem Mittelpunkt M(3|-1|0) berührt die Ebene F. Berechnen Sie die Koordinaten des Berührpunkts und den Radius r der Kugel. [Teilergebnis: r=5]

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c) Die Punktspiegelung der Kugel K am Punkt A ergibt die Kugel K´. Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts M´ der Kugel K´ und geben Sie deren Radius r´ an. [Teilergebnis: M´(-7|4|12)]

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d) Zeigen Sie, dass die Ebenen E₁₃ und E_-3 symmetrisch bezüglich des Punktes A liegen, und berechnen Sie den Abstand dieser beiden Ebenen.

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e) Die Ebene E₁₃ schneidet die Kugel K in einem Kreis. Berechnen Sie den Mittelpunkt N und den Radius p dieses Kreises. Warum hat der Schnittkreis von E_-3 mit der Kugel K´ ebenfalls den Radius p? [Teilergebnis: N(5|1|1) ]

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f) Die Kreise aus Teilaufgabe e bilden die Grund- und die Deckfläche eines schiefen Zylinders. Berechnen Sie das Volumen dieses schiefen Zylinders und den Winkel , um den die Zylinderachse gegen die Grundfläche geneigt ist.

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g) In welcher Ebene der Schar E_a liegt der Punkt M´? Für welche Werte des Scharparameters a schneiden sich die Kugel K´ und die Ebene E_a in einem Kreis?

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