2009 II: Unterschied zwischen den Versionen

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Gegeben ist die Schar der Funktionen <math>f_a : x \mapsto a^3 x^2 e^{-ax}</math>  mit a ∈ IR<sup>+</sup> und der Definitionsmenge IR . Der Graph von f<sub>a</sub> wird mit G<sub>a</sub> bezeichnet. Die Abbildung zeigt G<sub>a</sub> für a = 0,04.
 
Gegeben ist die Schar der Funktionen <math>f_a : x \mapsto a^3 x^2 e^{-ax}</math>  mit a ∈ IR<sup>+</sup> und der Definitionsmenge IR . Der Graph von f<sub>a</sub> wird mit G<sub>a</sub> bezeichnet. Die Abbildung zeigt G<sub>a</sub> für a = 0,04.
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a) Untersuchen Sie am Funktionsterm das Verhalten von f<sub>a</sub> für x → −∞ und x → +∞. Begründen Sie, dass G<sub>a</sub> nie unterhalb der x-Achse verläuft.<div align="right">''3 BE''</div>
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a) Untersuchen Sie am Funktionsterm das Verhalten von f<sub>a</sub> für x → −∞ und x → +∞. Begründen Sie, dass G<sub>a</sub> nie unterhalb der x-Achse verläuft.
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b) Bestimmen Sie Art und Lage der Extrempunkte von G<sub>a</sub>. [Zur Kontrolle: Tiefpunkt bei x = 0 und Hochpunkt bei x = <math>\textstyle \frac{2}{a}</math>]<div align="right">''7 BE''</div>
  
 
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Nun werden die in R I definierten Integralfunktionen betrachtet.
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Nun werden die in IR definierten Integralfunktionen <math>F_a : x \mapsto \int\limits_{0}^{x} f_a(t)dt</math>  betrachtet.
  
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a) Begründen Sie ohne Ausführung der Integration, dass der Graph von F<sub>a</sub> für alle a ∈ IR<sup>+</sup> durch den Koordinatenursprung verläuft und dort einen Terrassenpunkt besitzt.
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a) Begründen Sie ohne Ausführung der Integration, dass der Graph von F<sub>a</sub> für alle a ∈ IR<sup>+</sup> durch den Koordinatenursprung verläuft und dort einen Terrassenpunkt besitzt.<div align="right">''4 BE''</div>
  
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b) Berechnen Sie durch partielle Integration einen integralfreien Term für F<sub>a</sub> . Geben Sie den Grenzwert von Fa für x → +∞ an und interpretieren Sie das Ergebnis am Graphen G<sub>a</sub>. [Teilergebnis: ]
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b) Berechnen Sie durch partielle Integration einen integralfreien Term für F<sub>a</sub> . Geben Sie den Grenzwert von F<sub>a</sub> für x → +∞ an und interpretieren Sie das Ergebnis am Graphen G<sub>a</sub>. [Teilergebnis: F<sub>a</sub> = 2 - e<sup>-ax</sup> · (a<sup>2</sup>x<sup>2</sup> + 2ax + 2)]<div align="right">''10 BE''</div>
  
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c) Nun sei a = 0,04 . Der Graph der Funktion F0,04 besitzt für x > 0 einen Wendepunkt W. Bestimmen Sie die Koordinaten von W. Skizzieren Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse den
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Graphen von F<sub>0,04</sub> im Bereich − 30 ≤ x ≤ 200 in ein Koordinatensystem
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(x-Achse: 50 LE ≙ 2,5 cm, y-Achse: 1 LE ≙ 2,5 cm). Verwenden Sie
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dazu ohne Nachweis: F0,04 (−30) ≈ −1,45 und F0,04 (200) ≈1,97 .
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(FortsetzungNun wird die Schar der Funktionen <math>f_k : x \mapsto \frac{x}{k + x^2}</math>  mit k ∈ IR<sup>-</sup><sub>0</sub> betrachtet. Geben Sie die maximale Definitionsmenge D<sub>k</sub> von f<sub>k</sub> in
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Abhängigkeit von k an.
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Zeigen Sie, dass an den Definitionslücken Polstellen vorliegen. Hat f<sub>k</sub> an den Polstellen einen Vorzeichenwechsel? Begründen Sie Ihre Antwort.
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c) Nun sei a = 0,04 . Der Graph der Funktion F<sub>0,04</sub> besitzt für x > 0 einen Wendepunkt W. Bestimmen Sie die Koordinaten von W. Skizzieren Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse den Graphen von F<sub>0,04</sub> im Bereich − 30 ≤ x ≤ 200 in ein Koordinatensystem (x-Achse: 50 LE ≙ 2,5 cm, y-Achse: 1 LE ≙ 2,5 cm). Verwenden Sie dazu ohne Nachweis: F<sub>0,04</sub>(−30) ≈ −1,45 und F<sub>0,04</sub>(200) ≈1,97 .<div align="right">''6 BE''</div>
  
 
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Die Gruppe „Die toten Rosen“ gibt ein Konzert. Es beginnt um 20 Uhr, der
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Die Gruppe „Die toten Rosen“ gibt ein Konzert. Es beginnt um 20 Uhr, der Einlass wird ab 18 Uhr gewährt. Der Besucherzustrom soll durch eine Funktion g der Form g(x) = k ⋅ f<sub>a</sub> (x) mit geeignetem a und geeignetem k > 0 modelliert werden. Dabei bedeutet x die seit 18 Uhr vergangene Zeit
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Einlass wird ab 18 Uhr gewährt. Der Besucherzustrom soll durch eine
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in Minuten. g(x) gibt die momentane Zunahme der Besucherzahl in Besucher pro Minute an.
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Funktion g der Form g(x) = k ⋅ fa (x) mit geeignetem a und geeignetem
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k > 0 modelliert werden. Dabei bedeutet x die seit 18 Uhr vergangene Zeit
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in Minuten. g(x) gibt die momentane Zunahme der Besucherzahl in
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Besucher pro Minute an.
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5 a) Bestimmen Sie die Parameter a und k, wenn das Maximum der
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Funktion g um 18.50 Uhr auftritt und 26 Besucher pro Minute beträgt.
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5 b) Berechnen Sie für a = 0,04 und k =1200 unter Verwendung des in
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Teilaufgabe 2b ermittelten Terms Fa (x) das Integral ∫
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g(x)dx und
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interpretieren Sie das Ergebnis im Anwendungszusammenhang.
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a) Die drei folgenden Abbildungen zeigen Halbkreise mit Radius r und Mittelpunkten (0|0), (0|r) und (r|0) . Begründen Sie, dass der Halbkreis in Bild 1 Graph der Funktion <math>f_1 : x \mapsto \sqrt{r^2-x^2}</math>  mit − r ≤ x ≤ r ist.
 
  
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Die Halbkreise der Bilder 2 und 3 sind Graphen der Funktionen f<sub>2</sub> und f<sub>3</sub> . Geben Sie jeweils Term und Definitionsmenge für f<sub>2</sub> und f<sub>3</sub> an.
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a) Bestimmen Sie die Parameter a und k, wenn das Maximum der Funktion g um 18.50 Uhr auftritt und 26 Besucher pro Minute beträgt.<div align="right">''5 BE''</div>
  
 
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b) Berechnen Sie für a = 0,04 und k = 1200 unter Verwendung des in Teilaufgabe 2b ermittelten Terms F<sub>a</sub> (x) das Integral <math> \int\limits_{0}^{120} g(x)dx</math> und interpretieren Sie das Ergebnis im Anwendungszusammenhang.<div align="right">''5 BE''</div>
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b) Ein kugelförmiger Tank hat den Innenradius r und ist mit einer Flüssigkeit gefüllt. Die Höhe der
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eingefüllten Flüssigkeit ist h. Zeigen Sie mit Hilfe der Integralrechnung, dass für das Volumen V der
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eingefüllten Flüssigkeit gilt: <math>V = \pi(r h^2 - \frac{1}{3}h^3)</math>
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Aktuelle Version vom 1. April 2010, 12:01 Uhr


Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2009
Infinitesimalrechnung II


Download der Originalaufgaben: Abitur 2009 LK Mathematik Bayern - Lösungen zum Ausdrucken


Lösungen erstellt von: Melissa Gehrig



Aufgabe 1

Gegeben ist die Schar der Funktionen f_a : x \mapsto a^3 x^2 e^{-ax} mit a ∈ IR+ und der Definitionsmenge IR . Der Graph von fa wird mit Ga bezeichnet. Die Abbildung zeigt Ga für a = 0,04.

ABI 2009 II Grafik A1.jpg


a) Untersuchen Sie am Funktionsterm das Verhalten von fa für x → −∞ und x → +∞. Begründen Sie, dass Ga nie unterhalb der x-Achse verläuft.
3 BE
ABI 2009 II 1a Lös.jpg


b) Bestimmen Sie Art und Lage der Extrempunkte von Ga. [Zur Kontrolle: Tiefpunkt bei x = 0 und Hochpunkt bei x = \textstyle \frac{2}{a}]
7 BE
ABI 2009 II 1b Lös.jpg


Aufgabe 2

Nun werden die in IR definierten Integralfunktionen F_a : x \mapsto \int\limits_{0}^{x} f_a(t)dt betrachtet.

a) Begründen Sie ohne Ausführung der Integration, dass der Graph von Fa für alle a ∈ IR+ durch den Koordinatenursprung verläuft und dort einen Terrassenpunkt besitzt.
4 BE
ABI 2009 II 2a Lös.jpg


b) Berechnen Sie durch partielle Integration einen integralfreien Term für Fa . Geben Sie den Grenzwert von Fa für x → +∞ an und interpretieren Sie das Ergebnis am Graphen Ga. [Teilergebnis: Fa = 2 - e-ax · (a2x2 + 2ax + 2)]
10 BE
ABI 2009 II 2b Lös.jpg


c) Nun sei a = 0,04 . Der Graph der Funktion F0,04 besitzt für x > 0 einen Wendepunkt W. Bestimmen Sie die Koordinaten von W. Skizzieren Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse den Graphen von F0,04 im Bereich − 30 ≤ x ≤ 200 in ein Koordinatensystem (x-Achse: 50 LE ≙ 2,5 cm, y-Achse: 1 LE ≙ 2,5 cm). Verwenden Sie dazu ohne Nachweis: F0,04(−30) ≈ −1,45 und F0,04(200) ≈1,97 .
6 BE

ABI 2009 II 2c Lös.jpg

ABI 2009 II 2c Lös2.jpg


Aufgabe 3

Die Gruppe „Die toten Rosen“ gibt ein Konzert. Es beginnt um 20 Uhr, der Einlass wird ab 18 Uhr gewährt. Der Besucherzustrom soll durch eine Funktion g der Form g(x) = k ⋅ fa (x) mit geeignetem a und geeignetem k > 0 modelliert werden. Dabei bedeutet x die seit 18 Uhr vergangene Zeit in Minuten. g(x) gibt die momentane Zunahme der Besucherzahl in Besucher pro Minute an.


a) Bestimmen Sie die Parameter a und k, wenn das Maximum der Funktion g um 18.50 Uhr auftritt und 26 Besucher pro Minute beträgt.
5 BE
ABI 2009 II 3a Lös.jpg


b) Berechnen Sie für a = 0,04 und k = 1200 unter Verwendung des in Teilaufgabe 2b ermittelten Terms Fa (x) das Integral \int\limits_{0}^{120} g(x)dx und interpretieren Sie das Ergebnis im Anwendungszusammenhang.
5 BE
ABI 2009 II 3b Lös.jpg


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