2009 I: Unterschied zwischen den Versionen

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Gegeben ist die Schar der Funktionen
 
  
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a mit k ∈ IR+ und
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der Definitionsmenge IR . Der Graph von fk wird mit Gk bezeichnet.
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a) Untersuchen Sie Gk auf Symmetrie und geben Sie das Verhalten von f<sub>k</sub> für x → −∞ und x → +∞ an.
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b) Bestimmen Sie Art und Lage der Extrempunkte von Gk . Die Hochpunkte
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<center><big>'''Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2009'''</big></center>
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von Gk bilden den Graphen einer Funktion h. Ermitteln Sie
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Funktionsterm und Definitionsmenge von h.
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c) Zeigen Sie, dass zwei verschiedene Graphen der Schar nur den
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Koordinatenursprung gemeinsam haben.
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d) Skizzieren Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse die
 
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Graphen Gk für k = 0,25 und k =1 in ein gemeinsames Koordinatensystem
 
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(Längeneinheit 2 cm). Zeichnen Sie auch den Graphen von h
 
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ein.
 
  
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e) Für jedes k begrenzt Gk mit der x-Achse im I. Quadranten ein
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Flächenstück, das sich ins Unendliche erstreckt. Zeigen Sie, dass
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dieses Flächenstück keinen endlichen Inhalt besitzt.
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Für beliebige positive k1, k2 (k1 ≠ k2 ) begrenzen Gk1 und Gk 2im
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erstreckt. Zeigen Sie, dass dieses Flächenstück einen endlichen Inhalt
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hat, und geben Sie diesen an.
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Nun wird die Schar der Funktionen k 2 k x
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a für k∈ IR0−
 
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betrachtet. Geben Sie die maximale Definitionsmenge Dk von fk in
 
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Abhängigkeit von k an.
 
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Zeigen Sie, dass an den Definitionslücken Polstellen vorliegen. Hat fk an
 
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den Polstellen einen Vorzeichenwechsel? Begründen Sie Ihre Antwort.
 
  
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a) Die drei folgenden Abbildungen zeigen Halbkreise mit Radius r und
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Mittelpunkten (0 | 0), (0 | r) und (r | 0) . Begründen Sie, dass der
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f1 : x a r − x mit
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− r ≤ x ≤ r ist.  
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Gegeben ist die Schar der Funktionen <math>f_k : x \mapsto \frac{x}{k + x^2}</math>  mit k ∈ IR<sup>+</sup> und
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der Definitionsmenge IR . Der Graph von f<sub>k</sub> wird mit G<sub>k</sub> bezeichnet.
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a) Untersuchen Sie G<sub>k</sub> auf Symmetrie und geben Sie das Verhalten von f<sub>k</sub> für x → −∞ und x → +∞ an.
  
 
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Die Halbkreise der Bilder 2 und 3 sind Graphen der
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Funktionen f2 und f3 . Geben Sie jeweils Term und Definitionsmenge
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b) Bestimmen Sie Art und Lage der Extrempunkte von G<sub>k</sub> . Die Hochpunkte von G<sub>k</sub> bilden den Graphen einer Funktion h. Ermitteln Sie Funktionsterm und Definitionsmenge von h. [Teilergebnis: Hochpunkt bei x = k ]
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für f2 und f3 an.
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b) Ein kugelförmiger Tank hat den
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c) Zeigen Sie, dass zwei verschiedene Graphen der Schar nur den Koordinatenursprung gemeinsam haben.
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Flüssigkeit gefüllt. Die Höhe der
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eingefüllten Flüssigkeit ist h. Zeigen
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Sie mit Hilfe der Integralrechnung,
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d) Skizzieren Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse die Graphen G<sub>k</sub> für k = 0,25 und k =1 in ein gemeinsames Koordinatensystem (Längeneinheit 2 cm). Zeichnen Sie auch den Graphen von h ein.
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e) Für jedes k begrenzt G<sub>k</sub> mit der x-Achse im I. Quadranten ein Flächenstück, das sich ins Unendliche erstreckt. Zeigen Sie, dass dieses Flächenstück keinen endlichen Inhalt besitzt. Für beliebige positive k<sub>1</sub>, k<sub>2</sub> (k<sub>1</sub> ≠ k<sub>2</sub>) begrenzen G<sub>k<sub>1</sub></sub> und G<sub>k<sub>2</sub></sub> im I. Quadranten ein Flächenstück, das sich ebenfalls ins Unendliche erstreckt. Zeigen Sie, dass dieses Flächenstück einen endlichen Inhalt
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hat, und geben Sie diesen an.
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Nun wird die Schar der Funktionen <math>f_k : x \mapsto \frac{x}{k + x^2}</math>  mit k ∈ IR<sup>-</sup><sub>0</sub> betrachtet. Geben Sie die maximale Definitionsmenge D<sub>k</sub> von f<sub>k</sub> in
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Abhängigkeit von k an.
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Zeigen Sie, dass an den Definitionslücken Polstellen vorliegen. Hat f<sub>k</sub> an den Polstellen einen Vorzeichenwechsel? Begründen Sie Ihre Antwort.
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a) Die drei folgenden Abbildungen zeigen Halbkreise mit Radius r und Mittelpunkten (0|0), (0|r) und (r|0) . Begründen Sie, dass der Halbkreis in Bild 1 Graph der Funktion <math>f_1 : x \mapsto \sqrt{r^2-x^2}</math>  mit − r ≤ x ≤ r ist.
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Die Halbkreise der Bilder 2 und 3 sind Graphen der Funktionen f<sub>2</sub> und f<sub>3</sub> . Geben Sie jeweils Term und Definitionsmenge für f<sub>2</sub> und f<sub>3</sub> an.
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b) Ein kugelförmiger Tank hat den Innenradius r und ist mit einer Flüssigkeit gefüllt. Die Höhe der
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eingefüllten Flüssigkeit ist h. Zeigen Sie mit Hilfe der Integralrechnung, dass für das Volumen V der
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eingefüllten Flüssigkeit gilt: <math>V = \pi(r h^2 - \frac{1}{3}h^3)</math>
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:{{Lösung versteckt|1=
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Aktuelle Version vom 4. Februar 2010, 19:54 Uhr


Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2009
Infinitesimalrechnung I


Download der Originalaufgaben: Abitur 2009 LK Mathematik Bayern - Lösungen zum Ausdrucken


Aufgabe 1

Gegeben ist die Schar der Funktionen f_k : x \mapsto \frac{x}{k + x^2} mit k ∈ IR+ und der Definitionsmenge IR . Der Graph von fk wird mit Gk bezeichnet.


a) Untersuchen Sie Gk auf Symmetrie und geben Sie das Verhalten von fk für x → −∞ und x → +∞ an.

ABI 2009 I A1a Lös.jpg


b) Bestimmen Sie Art und Lage der Extrempunkte von Gk . Die Hochpunkte von Gk bilden den Graphen einer Funktion h. Ermitteln Sie Funktionsterm und Definitionsmenge von h. [Teilergebnis: Hochpunkt bei x = k ]

ABI 2009 I A1b Lös.jpg


c) Zeigen Sie, dass zwei verschiedene Graphen der Schar nur den Koordinatenursprung gemeinsam haben.

ABI 2009 I A1c Lös.jpg


d) Skizzieren Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse die Graphen Gk für k = 0,25 und k =1 in ein gemeinsames Koordinatensystem (Längeneinheit 2 cm). Zeichnen Sie auch den Graphen von h ein.

ABI 2009 I A1d Lös.jpg


e) Für jedes k begrenzt Gk mit der x-Achse im I. Quadranten ein Flächenstück, das sich ins Unendliche erstreckt. Zeigen Sie, dass dieses Flächenstück keinen endlichen Inhalt besitzt. Für beliebige positive k1, k2 (k1 ≠ k2) begrenzen Gk1 und Gk2 im I. Quadranten ein Flächenstück, das sich ebenfalls ins Unendliche erstreckt. Zeigen Sie, dass dieses Flächenstück einen endlichen Inhalt hat, und geben Sie diesen an.

ABI 2009 I A1e Lös.jpg


Aufgabe 2

Nun wird die Schar der Funktionen f_k : x \mapsto \frac{x}{k + x^2} mit k ∈ IR-0 betrachtet. Geben Sie die maximale Definitionsmenge Dk von fk in Abhängigkeit von k an.

Zeigen Sie, dass an den Definitionslücken Polstellen vorliegen. Hat fk an den Polstellen einen Vorzeichenwechsel? Begründen Sie Ihre Antwort.

ABI 2009 I A2Lös.jpg


Aufgabe 3

a) Die drei folgenden Abbildungen zeigen Halbkreise mit Radius r und Mittelpunkten (0|0), (0|r) und (r|0) . Begründen Sie, dass der Halbkreis in Bild 1 Graph der Funktion f_1 : x \mapsto \sqrt{r^2-x^2} mit − r ≤ x ≤ r ist.

Die Halbkreise der Bilder 2 und 3 sind Graphen der Funktionen f2 und f3 . Geben Sie jeweils Term und Definitionsmenge für f2 und f3 an.


b) Ein kugelförmiger Tank hat den Innenradius r und ist mit einer Flüssigkeit gefüllt. Die Höhe der eingefüllten Flüssigkeit ist h. Zeigen Sie mit Hilfe der Integralrechnung, dass für das Volumen V der eingefüllten Flüssigkeit gilt: V = \pi(r h^2 - \frac{1}{3}h^3)

ABI 2009 I A3 Lös.jpg


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