2009 VI: Unterschied zwischen den Versionen

Aus RMG-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
K
 
(19 dazwischenliegende Versionen von 4 Benutzern werden nicht angezeigt)
Zeile 1: Zeile 1:
−
'''VI.'''
+
__NOTOC__
 +
<div style="padding:1px;background: #EEEEE6;border:0px groove;">
  
−
Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem des IR<sup>3</sup> die
 
−
<br />Ebene F, die parallel zur  x<sub>3</sub>-Achse ist und die Punkte A(-2/1,5/6) und
 
−
<br />B(0/3/0) enthält, sowie die Ebenenschar E<sub>a</sub>: 2x<sub>1</sub>+2x<sub>2</sub>+x<sub>3</sub>-a=0  mit
 
−
<br />a ∈ IR.
 
  
 +
<center><table border="0" width="800px" cellpadding=5 cellspacing=15>
 +
<tr><td  width="800px" valign="top">
  
−
a) Berechnen Sie eine Gleichung der Ebene F in Normalenform.
+
<center><big>'''Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2009'''</big></center>
−
<br />[Zur Kontrolle: F: 3x<sub>1</sub>-4x<sub>2</sub>+12=0 ]
+
<center><big>'''Analytische Geometrie VI'''</big></center>
−
{{Lösung versteckt|
+
 
−
[[Bild:Beispiel.jpg]]
+
 
−
}}<br />
+
<center>[http://www.isb.bayern.de/isb/download.aspx?DownloadFileID=79e69371e73c4c671417483e9427e728 '''Download der Originalaufgaben: Abitur 2009 LK Mathematik Bayern'''] - [[Media:LKM Abi_2009_VI_Lös.doc|Lösungen zum Ausdrucken]] </center>
−
b) Die Kugel K mit dem Mittelpunkt M(3/-1/0) berührt die Ebene F.  
+
 
−
<br />Berechnen Sie die Koordinaten des Berührpunkts und den Radius r der Kugel.
+
 
−
<br />[Teilergebnis: r=5 ]
+
<center>Lösungen erarbeitet von Schwarz Johanna, Lettang Theresa und Hauck Anne </center>
−
{{Lösung versteckt|
+
 
−
[[Bild:Beispiel.jpg]]
+
</td></tr></table></center>
−
}}<br />
+
</div>
−
c) Die Punktspiegelung der Kugel K am Punkt A ergibt die Kugel K´.  
+
 
−
<br />Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts M´ der Kugel K´ und  
+
<div style="padding:1px;background: #EEEEE6;border:0px groove;">
−
<br />geben Sie deren Radius r´ an.
+
 
−
<br />[Teilergebnis: M´(-7/4/12)]
+
 
−
{{Lösung versteckt|
+
<center><table border="0" width="800px" cellpadding=5 cellspacing=15>
−
[[Bild:Beispiel.jpg]]
+
<tr><td  width="800px" valign="top">
−
}}<br />
+
 
−
d) Zeigen Sie, dass die Ebenen E<sub>13</sub> und E<sub>-3</sub> symmetrisch bezüglich des  
+
Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem des IR<sup>3</sup> die Ebene F, die parallel zur  x<sub>3</sub>-Achse ist und die Punkte A(-2|1,5|6) und B(0|3|0) enthält, sowie die Ebenenschar E<sub>a</sub>: 2x<sub>1</sub>+2x<sub>2</sub>+x<sub>3</sub>-a=0  mit a ∈ IR.
−
<br />Punktes A liegen, und berechnen Sie den Abstand dieser beiden Ebenen.  
+
 
−
{{Lösung versteckt|
+
 
−
[[Bild:Beispiel.jpg]]
+
a) Berechnen Sie eine Gleichung der Ebene F in Normalenform. [Zur Kontrolle: F: 3x<sub>1</sub>-4x<sub>2</sub>+12=0]
−
}}<br />
+
 
−
e) Die Ebene E<sub>13</sub> schneidet die Kugel K in einem Kreis. Berechnen Sie den  
+
:{{Lösung versteckt|
−
<br />Mittelpunkt N und den Radius p dieses Kreises. Warum hat der Schnitt-
+
[[Bild:ABI_2009_VI_a_Lös.jpg]]
−
<br />kreis von E<sub>-3</sub> mit der Kugel K´ ebenfalls den Radius p?
+
}}
−
<br />[Teilergebnis: N(5/1/1) ]
+
 
−
{{Lösung versteckt|
+
 
−
[[Bild:Beispiel.jpg]]
+
b) Die Kugel K mit dem Mittelpunkt M(3|-1|0) berührt die Ebene F. Berechnen Sie die Koordinaten des Berührpunkts und den Radius r der Kugel. [Teilergebnis: r=5]
−
}}<br />
+
 
−
f) Die Kreise aus Teilaufgabe e bilden die Grund- und die Deckfläche eines  
+
:{{Lösung versteckt|
−
<br />schiefen Zylinders. Berechnen Sie das Volumen dieses schiefen  
+
[[Bild:ABI_2009_VI_b_Lös.jpg]]
−
<br />Zylinders und den Winkel <math>varpi</math> , um den die Zylinderachse gegen die  
+
}}
−
<br />Grundfläche ge-neigt ist.  
+
 
−
{{Lösung versteckt|
+
 
−
[[Bild:Beispiel.jpg]]
+
c) Die Punktspiegelung der Kugel K am Punkt A ergibt die Kugel K´. Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts M´ der Kugel K´ und geben Sie deren Radius r´ an. [Teilergebnis: M´(-7|4|12)]
−
}}<br />
+
 
−
g) In welcher Ebene der Schar E<sub>a</sub> liegt der Punkt M´?  
+
:{{Lösung versteckt|
−
<br />Für welche Werte des Scharparameters a schneiden sich die Kugel K´  
+
[[Bild:ABI_2009_VI_c_Lös.jpg]]
−
<br />und die Ebene E<sub>a</sub> in einem Kreis?  
+
}}
−
{{Lösung versteckt|
+
 
−
[[Bild:Beispiel.jpg]]
+
 
−
}}<br />
+
d) Zeigen Sie, dass die Ebenen E<sub>13</sub> und E<sub>-3</sub> symmetrisch bezüglich des Punktes A liegen, und berechnen Sie den Abstand dieser beiden Ebenen.  
 +
 
 +
:{{Lösung versteckt|
 +
[[Bild:Abi_2009,_6,_d.jpg]]}}
 +
 
 +
e) Die Ebene E<sub>13</sub> schneidet die Kugel K in einem Kreis. Berechnen Sie den Mittelpunkt N und den Radius p dieses Kreises. Warum hat der Schnittkreis von E<sub>-3</sub> mit der Kugel K´ ebenfalls den Radius p? [Teilergebnis: N(5|1|1) ]
 +
 
 +
:{{Lösung versteckt|
 +
[[Bild:ABI_2009_VI_e_Lös.jpg]]
 +
 
 +
[[Bild:ABI_2009_VI_e_2_Lös.jpg]]
 +
}}
 +
 
 +
 
 +
f) Die Kreise aus Teilaufgabe e bilden die Grund- und die Deckfläche eines schiefen Zylinders. Berechnen Sie das Volumen dieses schiefen Zylinders und den Winkel <math>\varphi</math> , um den die Zylinderachse gegen die Grundfläche geneigt ist.  
 +
 
 +
:{{Lösung versteckt|
 +
[[Bild:ABI_2009_VI_f_Lös.jpg]]
 +
}}
 +
 
 +
 
 +
g) In welcher Ebene der Schar E<sub>a</sub> liegt der Punkt M´? Für welche Werte des Scharparameters a schneiden sich die Kugel K´ und die Ebene E<sub>a</sub> in einem Kreis?  
 +
 
 +
:{{Lösung versteckt|
 +
[[Bild:ABI_2009_VI_g_Lös.jpg]]
 +
}}
 +
 
 +
</td></tr></table></center>
 +
 
 +
 
 +
</div>

Aktuelle Version vom 22. April 2010, 18:53 Uhr


Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2009
Analytische Geometrie VI


Download der Originalaufgaben: Abitur 2009 LK Mathematik Bayern - Lösungen zum Ausdrucken


Lösungen erarbeitet von Schwarz Johanna, Lettang Theresa und Hauck Anne


Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem des IR3 die Ebene F, die parallel zur x3-Achse ist und die Punkte A(-2|1,5|6) und B(0|3|0) enthält, sowie die Ebenenschar Ea: 2x1+2x2+x3-a=0 mit a ∈ IR.


a) Berechnen Sie eine Gleichung der Ebene F in Normalenform. [Zur Kontrolle: F: 3x1-4x2+12=0]

ABI 2009 VI a Lös.jpg


b) Die Kugel K mit dem Mittelpunkt M(3|-1|0) berührt die Ebene F. Berechnen Sie die Koordinaten des Berührpunkts und den Radius r der Kugel. [Teilergebnis: r=5]

ABI 2009 VI b Lös.jpg


c) Die Punktspiegelung der Kugel K am Punkt A ergibt die Kugel K´. Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts M´ der Kugel K´ und geben Sie deren Radius r´ an. [Teilergebnis: M´(-7|4|12)]

ABI 2009 VI c Lös.jpg


d) Zeigen Sie, dass die Ebenen E13 und E-3 symmetrisch bezüglich des Punktes A liegen, und berechnen Sie den Abstand dieser beiden Ebenen.

Abi 2009, 6, d.jpg

e) Die Ebene E13 schneidet die Kugel K in einem Kreis. Berechnen Sie den Mittelpunkt N und den Radius p dieses Kreises. Warum hat der Schnittkreis von E-3 mit der Kugel K´ ebenfalls den Radius p? [Teilergebnis: N(5|1|1) ]

ABI 2009 VI e Lös.jpg

ABI 2009 VI e 2 Lös.jpg


f) Die Kreise aus Teilaufgabe e bilden die Grund- und die Deckfläche eines schiefen Zylinders. Berechnen Sie das Volumen dieses schiefen Zylinders und den Winkel \varphi , um den die Zylinderachse gegen die Grundfläche geneigt ist.

ABI 2009 VI f Lös.jpg


g) In welcher Ebene der Schar Ea liegt der Punkt M´? Für welche Werte des Scharparameters a schneiden sich die Kugel K´ und die Ebene Ea in einem Kreis?

ABI 2009 VI g Lös.jpg


Von „http://rmg.zum.de/index.php?title=LK_Mathematik/Abitur/2009_VI&oldid=32509“