2009 VI: Unterschied zwischen den Versionen

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Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem des IR<sup>3</sup> die Ebene F, die parallel zur  x<sub>3</sub>-Achse ist und die Punkte A(-2|1,5|6) und B(0|3|0) enthält, sowie die Ebenenschar E<sub>a</sub>: 2x<sub>1</sub>+2x<sub>2</sub>+x<sub>3</sub>-a=0  mit a ∈ IR.
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<br />Punktes A liegen, und berechnen Sie den Abstand dieser beiden Ebenen.  
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a) Berechnen Sie eine Gleichung der Ebene F in Normalenform. [Zur Kontrolle: F: 3x<sub>1</sub>-4x<sub>2</sub>+12=0]
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c) Die Punktspiegelung der Kugel K am Punkt A ergibt die Kugel K´. Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts M´ der Kugel K´ und geben Sie deren Radius r´ an. [Teilergebnis: M´(-7|4|12)]
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d) Zeigen Sie, dass die Ebenen E<sub>13</sub> und E<sub>-3</sub> symmetrisch bezüglich des Punktes A liegen, und berechnen Sie den Abstand dieser beiden Ebenen.  
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e) Die Ebene E<sub>13</sub> schneidet die Kugel K in einem Kreis. Berechnen Sie den Mittelpunkt N und den Radius p dieses Kreises. Warum hat der Schnittkreis von E<sub>-3</sub> mit der Kugel K´ ebenfalls den Radius p? [Teilergebnis: N(5|1|1) ]
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f) Die Kreise aus Teilaufgabe e bilden die Grund- und die Deckfläche eines schiefen Zylinders. Berechnen Sie das Volumen dieses schiefen Zylinders und den Winkel <math>\varphi</math> , um den die Zylinderachse gegen die Grundfläche geneigt ist.  
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g) In welcher Ebene der Schar E<sub>a</sub> liegt der Punkt M´? Für welche Werte des Scharparameters a schneiden sich die Kugel K´ und die Ebene E<sub>a</sub> in einem Kreis?  
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Aktuelle Version vom 22. April 2010, 17:53 Uhr


Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2009
Analytische Geometrie VI


Download der Originalaufgaben: Abitur 2009 LK Mathematik Bayern - Lösungen zum Ausdrucken


Lösungen erarbeitet von Schwarz Johanna, Lettang Theresa und Hauck Anne


Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem des IR3 die Ebene F, die parallel zur x3-Achse ist und die Punkte A(-2|1,5|6) und B(0|3|0) enthält, sowie die Ebenenschar Ea: 2x1+2x2+x3-a=0 mit a ∈ IR.


a) Berechnen Sie eine Gleichung der Ebene F in Normalenform. [Zur Kontrolle: F: 3x1-4x2+12=0]

ABI 2009 VI a Lös.jpg


b) Die Kugel K mit dem Mittelpunkt M(3|-1|0) berührt die Ebene F. Berechnen Sie die Koordinaten des Berührpunkts und den Radius r der Kugel. [Teilergebnis: r=5]

ABI 2009 VI b Lös.jpg


c) Die Punktspiegelung der Kugel K am Punkt A ergibt die Kugel K´. Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts M´ der Kugel K´ und geben Sie deren Radius r´ an. [Teilergebnis: M´(-7|4|12)]

ABI 2009 VI c Lös.jpg


d) Zeigen Sie, dass die Ebenen E13 und E-3 symmetrisch bezüglich des Punktes A liegen, und berechnen Sie den Abstand dieser beiden Ebenen.

Abi 2009, 6, d.jpg

e) Die Ebene E13 schneidet die Kugel K in einem Kreis. Berechnen Sie den Mittelpunkt N und den Radius p dieses Kreises. Warum hat der Schnittkreis von E-3 mit der Kugel K´ ebenfalls den Radius p? [Teilergebnis: N(5|1|1) ]

ABI 2009 VI e Lös.jpg

ABI 2009 VI e 2 Lös.jpg


f) Die Kreise aus Teilaufgabe e bilden die Grund- und die Deckfläche eines schiefen Zylinders. Berechnen Sie das Volumen dieses schiefen Zylinders und den Winkel \varphi , um den die Zylinderachse gegen die Grundfläche geneigt ist.

ABI 2009 VI f Lös.jpg


g) In welcher Ebene der Schar Ea liegt der Punkt M´? Für welche Werte des Scharparameters a schneiden sich die Kugel K´ und die Ebene Ea in einem Kreis?

ABI 2009 VI g Lös.jpg


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