Im nebenstehenden Koordinatensystem ist der Graph der Funktion
f(x)=x⁴-x² abgebildet. Bei der Betrachtung des Graphen fällt auf, dass er auf beiden Seiten der y-Achse den gleichen Verlauf nimmt. Wenn man also einen Punkt des Graphen an der y-Achse spiegelt, liegt der Spiegelpunkt ebenfalls auf dem Graphen. Dies wird als Achsensymmetrie zur y-Achse bezeichnet. Zum Beweis dieser Symmetrie nutzt man den Zusammenhang f(x)=f(-x). Wenn also das Einsetzen von f(x) und f(-x) den gleichen Funktionswert ergibt, handelt es sich um einen achsensymmetrischen Graphen.

Setzt man beispielsweise in diesem Fall 2 und -2 in den Funktionsterm ein, so kommt beide Male das gleiche Ergebnis dabei heraus:

f(2)=2⁴-2²=12

f(-2)=(-2)⁴-(-2)²=12

Im nebenstehenden Koordinatensystem ist der Graph der Funktion
f(x)=x³ dargestellt. Hier lässt sich nicht wie im vorigen Fall eine Symmetrie zu einer Achse feststellen. Stattdessen ist diese Funktion symmetrisch zum Ursprung. Hierbei gilt der Zusammenhang
f(x)=-f(-x). Das bedeutet, dass die Funktionswerte von f(x) und f(-x) vom Betrag her gleich sein müssen, aber unterschiedliche Vorzeichen haben.

Dies lässt sich leicht durch ein Beispiel beweisen:

f(1)=1³=1

f(-1)=(-1)³=-1

Unten siehst du 2 Applets mit Funktionsgraphen. Versuche, durch Verschieben der Regler Zusammenhänge zwischen der Veränderung der Exponenten und der Symmetrie der Graphen zu erkennen. Beachte dabei, wie die Regler eingestellt sind.

Beispielaufgaben