Aktuelle Version vom 27. Januar 2010, 20:07 Uhr

Inhaltsverzeichnis

1 Strecken und Spiegeln von Funktionsgraphen

Strecken und Spiegeln von Funktionsgraphen

Streckung in y-Richtung


Zur Erinnerung: Bei quadratischen Funktionen habt ihr in der neunten Klasse bereits gelernt, dass der Funktionsgraph durch einen Koeffizienten a weiter oder enger als die Normalparabel f(x)=x² sein kann. Diese Erscheinung wird nun allgemein für alle Funktionstypen untersucht.

Problemstellung:


Im nebenstehenden Koordinatensystem ist der Graph der Funktion f(x)= 2x⁴-3x²+0,5 dargestellt. Wird diese Funktion nun mit einer rationalen Zahl k multipliziert, entsteht ein veränderter Graph g. Versuche, durch Verschieben des Reglers das Verhalten des Funktionsgraphen zu erklären.

Erklärung:
Da der Graph von g(x) aus einer Multiplikation von einem Koeffizienten k und dem Funktionswert von f(x) entsteht, gilt für den Graphen g die Funktionsgleichung g(x)=k $\cdot$ f(x). Dadurch nimmt g bei einem Koeffizienten k>1 einen größeren Funktionswert an als der Graph von f. Der Graph ist also in y-Richtung gestreckt. Dasselbe gilt auch für 0<k<1, nur dass der Graph g hier kleinere Funktionswerte annimmt. Die Nullstellen bleiben dabei unverändert!


Beispiel: k=3 f(1)=-0,5 g(x)=f(x) $\cdot$ k g(1)=f(1) $\cdot$ 3 g(1)=-0,5 $\cdot$ 3 g(1)=-1,5

Streckung in x-Richtung

Problemstellung:


Im untenstehenden Applet ist der Graph der Funktion f(x)=cosx eingezeichnet. Durch eine Streckung in x-Richtung entsteht der Graph g. Durch Verschieben des Reglers kannst du diese Streckung beobachten. Überlege dir, welche Auswirkungen eine Streckung um den Faktor 3 auf den Funktionsgraph hat.


Erklärung: Eine Streckung um den Faktor 3 in x-Richtung bedeutet, dass der Graph von g den Funktionswert, den der Graph von f an der Stelle x annimmt, erst an der Stelle 3x annimmt. Es entsteht also der Zusammenhang f(x)=g(3x) oder $g(x)=f \left( \frac {1} {3}x \right)=cos \frac {1} {3}x$


Beispiel: k=3 f( $\Pi$ )=-1 $g(x)=f\left( \frac {1} {k} \right)$ $g(\Pi)=f \left( \frac {1} {3} \Pi \right)$ g( $\Pi$ )=0,5

Ist der Streckungsfaktor 0<k<1, z.B. k=0,5, dann entspricht der Funktionswert von f an der Stelle x dem Funktionswert von g an der Stelle 0,5.
Der Zusammenhang lautet also f(x)=g(0,5x) oder g(x)=f(2x). Das Verhalten des Graphen kannst du beobachten, wenn du im oben abgebildeten Koordinatensystem den Regler k verschiebst. Der Funktionswert an der Stelle x=0 bleibt immer gleich.
Allgemein: g(x)=f(kx) mit dem Streckungsfaktor ${1 \over k}$


Merke: Besteht zwischen zwei Funktionen der Zusammenhang g(x)=k $\cdot$ f(x) mit k>0, dann ist der Graph von g gegenüber dem von f in y-Richtung um den Faktor k gestreckt. Besteht zwischen zwei Funktionen der Zusammenhang g(x)=f(kx) mit k>0, dann ist der Graph von g gegenüber dem von f um den Faktor ${1 \over k}$ in x-Richtung gestreckt.

Spiegelung an der x-Achse

Bisher haben wir das Verhalten der Funktionsgraphen nur für positive Werte von k untersucht. Nun soll k den Wert -1 annehmen. Aus den oben erstellten
Formeln ergeben sich nun die Fälle g(x)= -1k $\cdot$ f(x) und g(x)=f(-1kx),
also g(x)= -f(x) und g(x)=f(-x).
Zunächst betrachten wir den Fall g(x)= -f(x) .


		Im nebenstehenden Koordinatensystem ist der Graph von f mit dem Funktionsterm f(x)=x⁴-x² rot dargestellt. Um die Funktionswerte des grün dargestellten Graphen von g zu erhalten, werden die Funktionswerte von f(x) mit k=-1 multipliziert. Wie in der Abbildung zu erkennen ist, handelt es sich beim Graphen von g um eine Spiegelung an der x-Achse.

Spiegelung an der y-Achse

Nun betrachten wir den Fall g(x)=f(-x) am Beispiel f(x)=2^x.


		Im nebenstehenden Koordinatensystem ist der Graph von f rot dargestellt. Für den Graphen von g (grün dargestellt) gilt der Funktionsterm g(x)=2^-x. Betrachtet man die beiden Graphen zusammen, so fällt auf, dass der Graph von g aus einer Spiegelung von f an der y-Achse entsteht.

Merke:

Der Graph von g mit g(x)=-f(x) geht aus dem Graphen von f durch eine Spiegelung an der x-Achse hervor.
Der Graph von g mit g(x)=f(-x) geht aus dem Graphen von f durch eine Spiegelung an der y-Achse hervor.

Hinweis: Bei einer Streckung beispielsweise um den Streckungsfaktor k=-2 entsteht der Graph von g aus einer Spiegelung an der x-Achse und anschließender Streckung um den Streckungsfaktor 2.

Wie sich der Graph einer Funktion verhält, wenn er an der x-Achse gespiegelt und dann in y-Richtung gestreckt wird, kannst du im untenstehenden Applet beobachten.

Beispielaufgaben

Aufgabe 1:

Zeichne in ein gemeinsames Koordinatensystem die Funktion f(x)=x³+2, sowie die Funktionen g(x)=2f(x) und h(x)=f(2x) (handschriftlich).

Lösung anzeigen

Aufgabe 2:

Gegeben ist die Funktion f(x)=2x³-x²+2x+1. Erstelle jeweils die neuen Funktionen nach den folgenden Anweisungen. Verwende zum Weiterrechnen jeweils den vorangegangenen Funktionsterm.

a) Streckung um den Faktor 3 in y-Richtung

b) Spiegelung an der x-Achse

c) Streckung um den Faktor 0,5 in x-Richtung

d) Streckung um den Faktor 0,25 in y-Richtung

e) Spiegelung an der y-Achse

Lösung anzeigen

Aufgabe 3:
Finde die passenden Paare.

Spiegelung an der x-Achse
Spiegelung an der y-Achse
Streckung in x-Richtung
Streckung in y-Richtung

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-<br /> <br /> Im nebenstehenden Koordinatensystem ist der Graph der Funktion f(x)= 2x<sup>4</sup>-3x<sup>2</sup>+0,5 dargestellt. Wird diese Funktion nun mit einer rationalen Zahl k multipliziert, entsteht ein veränderter Graph g(x). Versuche, durch Verschieben des Reglers das Verhalten des Funktionsgraphen zu erklären.
+<br /> <br /> Im nebenstehenden Koordinatensystem ist der Graph der Funktion f(x)= 2x<sup>4</sup>-3x<sup>2</sup>+0,5 dargestellt. Wird diese Funktion nun mit einer rationalen Zahl k multipliziert, entsteht ein veränderter Graph g. Versuche, durch Verschieben des Reglers das Verhalten des Funktionsgraphen zu erklären.
 |} <br /> <br />
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 ''' <span style="color: blue">Erklärung:</span>''' <br />
-Da der Graph von g(x) aus einer Multiplikation von einem Koeffizienten k und dem Funktionswert von f(x) entsteht, gilt für den Graphen g die Funktionsgleichung g(x)=k<math>\times</math>f(x). Dadurch nimmt g bei einem Koeffizienten k>1 einen größeren Funktionswert an als der Graph von f. Der Graph ist also in y-Richtung gestreckt. Dasselbe gilt auch für 0<k<1, nur dass der Graph g hier kleinere Funktionswerte annimmt. '''Die Nullstellen bleiben dabei unverändert!'''
+Da der Graph von g(x) aus einer Multiplikation von einem Koeffizienten k und dem Funktionswert von f(x) entsteht, gilt für den Graphen g die Funktionsgleichung g(x)=k<math>\cdot</math>f(x). Dadurch nimmt g bei einem Koeffizienten k>1 einen größeren Funktionswert an als der Graph von f. Der Graph ist also in y-Richtung gestreckt. Dasselbe gilt auch für 0<k<1, nur dass der Graph g hier kleinere Funktionswerte annimmt. '''Die Nullstellen bleiben dabei unverändert!'''
 |} <br /> <br /> <br />
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 :<span style="color: green">k=3</span> <br />
 :<span style="color: red">f(1)=-0,5</span> <br />
-::g(x)=f(x)<math>\times</math>k <br />
+::g(x)=f(x)<math>\cdot</math>k <br />
-::g(1)=<span style="color: red">f(1)</span><span style="color: green"><math>\times</math>3</span> <br />
+::g(1)=<span style="color: red">f(1)</span><span style="color: green"><math>\cdot</math>3</span> <br />
-::g(1)=-0,5<math>\times</math>3 <br />
+::g(1)=-0,5<math>\cdot</math>3 <br />
 ::g(1)=-1,5 </div>
 |} <br /> <br /> <br /> <br />
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 ''' <span style="color: blue">Erklärung:</span>'''  <br />
 Eine Streckung um den Faktor 3 in x-Richtung bedeutet, dass der Graph von g den Funktionswert, den der Graph von f an der Stelle x annimmt, erst an der Stelle 3x annimmt. <br />
-Es entsteht also der Zusammenhang f(x)=g(3x) oder g(x)=f(<math>{1 \over 3}</math>x)=cos<math>{1 \over 3}</math>x <br />
+Es entsteht also der Zusammenhang f(x)=g(3x) oder <math>g(x)=f \left( \frac {1} {3}x \right)=cos \frac {1} {3}x</math> <br />
 |} <br /> <br /> <br />
 {|
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 :<span style="color: green">k=3</span> <br />
 :f(<math>\Pi</math>)=-1 <br />
-::g(x)=f(<math>{1 \over k}</math>x) <br />
+::<math>g(x)=f\left( \frac {1} {k} \right)</math> <br />
-::g(<math>\Pi</math>)=f(<math>{1 \over 3}</math><math>\Pi</math>) <br />
+::<math>g(\Pi)=f \left( \frac {1} {3} \Pi \right)</math> <br />
 ::g(<math>\Pi</math>)=0,5
 </div>
 |} <br /> <br />
 {|
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 | valign="top" |
 <div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid red; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:yellow; width:90%; align:center; ">  <span style="color: red">'''Merke:''' </span>
-Besteht zwischen zwei Funktionen der Zusammenhang g(x)=k<math>\times</math>f(x) mit k>0, dann ist der Graph von g gegenüber dem von f  in y-Richtung um den Faktor k gestreckt.
+Besteht zwischen zwei Funktionen der Zusammenhang g(x)=k<math>\cdot</math>f(x) mit k>0, dann ist der Graph von g gegenüber dem von f  in y-Richtung um den Faktor k gestreckt.
 Besteht zwischen zwei Funktionen der Zusammenhang g(x)=f(kx) mit k>0, dann ist der Graph von g gegenüber dem von f um den Faktor <math>{1 \over k}</math> in x-Richtung gestreckt.</div>
 |} <br /> <br />
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 Bisher haben wir das Verhalten der Funktionsgraphen nur für positive Werte von k untersucht. Nun soll k den Wert -1 annehmen. Aus den oben erstellten <br />
 Formeln ergeben sich nun die Fälle
-g(x)= -1k<math>\times</math>f(x)  und g(x)=f(-1kx), <br />
+g(x)= -1k<math>\cdot</math>f(x)  und g(x)=f(-1kx), <br />
 also g(x)= -f(x) und g(x)=f(-x). <br />
 Zunächst betrachten wir den Fall <span style="color: blue">g(x)= -f(x)</span> . <br />
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 <popup name="Lösung">
 f(x)=2x<sup>3</sup>-x<sup>2</sup>+2x+1 <br /> <br />
-a) Streckung um den Faktor 3 in y-Richtung <br />
+a) Streckung um den Faktor <span style="color: red">3 in y-Richtung</span> <br />
-::g(x)=k<math>\times</math>f(x) mit k=3 <br />
+::g(x)=<span style="color: red">k</span><math>\cdot</math>f(x) mit <span style="color: red">k=3</span> <br />
-::g(x)=3<math>\times</math>(2x<sup>3</sup>-x<sup>2</sup>+2x+1) <br />
+::g(x)=<span style="color: red">3</span><math>\cdot</math>(2x<sup>3</sup>-x<sup>2</sup>+2x+1) <br />
 ::g(x)=6x<sup>3</sup>-3x<sup>2</sup>+6x+3 <br /> <br />
-b) Spiegelung an der x-Achse <br />
+b) <span style="color: red">Spiegelung an der x-Achse</span> <br />
-::h(x)=-g(x) <br />
+::<span style="color: red">h(x)=-g(x)</span> <br />
 ::h(x)=-(6x<sup>3</sup>-3x<sup>2</sup>+6x+3) <br />
 ::h(x)=-6x<sup>3</sup>+3x<sup>2</sup>-6x-3 <br /> <br />
-c) Streckung um den Faktor 0,5 in x-Richtung <br />
+c) Streckung um den Faktor <span style="color: red">0,5 in x-Richtung</span> <br />
-::i(x)=h(kx) mit k=<math>{1 \over 0,5}</math>=2 <br />
+::<span style="color: red">i(x)=h(kx)</span> mit <span style="color: red">k=</span><math>{1 \over 0,5}</math>=<span style="color: red">2</span> <br />
-::i(x)=h(2x) <br />
+::i(x)=h(<span style="color: red">2x</span>) <br />
 ::i(x)=-6(2x)<sup>3</sup>+3(2x)<sup>2</sup>-6(2x)-3 <br />
 ::i(x)=-48x<sup>3</sup>+12x<sup>2</sup>-12x-3 <br /> <br />
-d) Streckung um den Faktor 0,25 in y-Richtung <br />
+d) Streckung um den Faktor <span style="color: red">0,25 in y-Richtung</span> <br />
-::k(x)=0,25<math>\times</math>i(x) <br />
+::k(x)=<span style="color: red">0,25</span><math>\cdot</math>i(x) <br />
 ::k(x)=-12x<sup>3</sup>+3x<sup>2</sup>-3x-0,75 <br /> <br />
-e) Spiegelung an der y-Achse <br />
+e) <span style="color: red">Spiegelung an der y-Achse</span> <br />
-::l(x)=k(-x)<br />
+::<span style="color: red">l(x)=k(-x)</span> <br />
 ::l(x)=-12(-x<sup>3</sup> )+3(-x<sup>2</sup> )-3(-x)-0,75 <br />
 ::l(x)=12x<sup>3</sup>-3x<sup>2</sup>+3x-0,75 <br /> <br />
@@ Zeile 220: / Zeile 221: @@
 |-
 | <big> '''Streckung in y-Richtung'''</big>  || [[Bild:Memory Streckung4neu.png|120px]]
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+|}
 </div>  <br />
 |}

Strecken und Spiegeln von Funktionsgraphen: Unterschied zwischen den Versionen

Aktuelle Version vom 27. Januar 2010, 20:07 Uhr

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Strecken und Spiegeln von Funktionsgraphen

Streckung in y-Richtung

Streckung in x-Richtung

Spiegelung an der x-Achse

Spiegelung an der y-Achse

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