Lösung von Teilaufgabe e: Unterschied zwischen den Versionen
(→Beweisführung durch Betrachtung der Ableitungen von f_a) |
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| − | == Beweisführung zur n-ten Ableitung der Funktion < | + | == Beweisführung zur n-ten Ableitung der Funktion f<sub>a</sub> durch vollständige Induktion== |
Beweise, dass<br /> | Beweise, dass<br /> | ||
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| − | Der Beweis stimmt wenn <math>f_a^{(n)'}(x)= f_a^{(n+1)}(x)</math><br /> | + | Der Beweis stimmt, wenn <math>f_a^{(n)'}(x)= f_a^{(n+1)}(x)</math><br /> |
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:::<math>=(-1)^{n+1+1}\cdot e^{a+2-x}\cdot (n+1-x+a)</math><br /> | :::<math>=(-1)^{n+1+1}\cdot e^{a+2-x}\cdot (n+1-x+a)</math><br /> | ||
| − | :::<math>=(-1)^{(n+1)+1}\cdot ((n+1)-x+a)\cdot e^{a+2-x} = f_a^{(n+1)}(x)</math> | + | :::<math>=(-1)^{(n+1)+1}\cdot ((n+1)-x+a)\cdot e^{a+2-x} = f_a^{(n+1)}(x)</math><br /> |
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| − | + | ||
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== Beweisführung durch Betrachtung der Ableitungen von <math>f_a</math> == | == Beweisführung durch Betrachtung der Ableitungen von <math>f_a</math> == | ||
| − | Durch Betrachtung der Ableitungen und Integrale von <math>f_a (x)</math> lässt sich eine gewisse Regel erkennen.<br /> | + | Durch Betrachtung der Ableitungen und Integrale von <math>f_a (x)\,</math> lässt sich eine gewisse Regel erkennen.<br /> |
:<math>Stammfunktion: \;\;\; F_a (x) = ( x - a + 1 )\cdot e^{a + 2 - x}\cdot (-1) </math> <br /> | :<math>Stammfunktion: \;\;\; F_a (x) = ( x - a + 1 )\cdot e^{a + 2 - x}\cdot (-1) </math> <br /> | ||
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:<math>3. Ableitung: \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; f^{'''}_a (x) = ( x - a - 3 )\cdot e^{a + 2 - x}\cdot (-1) </math> <br /> | :<math>3. Ableitung: \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; f^{'''}_a (x) = ( x - a - 3 )\cdot e^{a + 2 - x}\cdot (-1) </math> <br /> | ||
| − | Aus den gezeigten Ableitungen lässt sich erkennen, ausgehend von der Stammfunktion, dass | + | Aus den gezeigten Ableitungen lässt sich erkennen, ausgehend von der Stammfunktion, dass für jede Ableitung der erste Faktor dieses Produkts (die Variablen in der Klammer) um eins abnimmt.<br /> Außerdem wird bei jeder zweiten Ableitung eine Änderung des Vorzeichens verzeichnet. Das heißt, jede zweite Ableitung wird mit (-1) multipliziert. |
:<math>\sum_{1}^\infty (-1)^{n}\cdot(x-a-n)\cdot e^{a+2-x}=</math><br /> | :<math>\sum_{1}^\infty (-1)^{n}\cdot(x-a-n)\cdot e^{a+2-x}=</math><br /> | ||
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:=<math>\sum_{1}^\infty (-1)^{n+1}\cdot(n-x+a)\cdot e^{a+2-x} = f_a^{(n)}(x)</math><br /> | :=<math>\sum_{1}^\infty (-1)^{n+1}\cdot(n-x+a)\cdot e^{a+2-x} = f_a^{(n)}(x)</math><br /> | ||
| − | Die durch die Überlegung entwickelte Formel für die n-te Ableitung von | + | Die durch die Überlegung entwickelte Formel für die n-te Ableitung von <math>f_a(x)\,</math> stimmt mit derjenigen, welche bewiesen werde sollte überein.<br /> |
<math>y=f_a^{(n)}(x)=(-1)^{n+1}\cdot(n-x+a)\cdot e^{a+2-x}</math> | <math>y=f_a^{(n)}(x)=(-1)^{n+1}\cdot(n-x+a)\cdot e^{a+2-x}</math> | ||
| − | Diese Methode der Beweisführung ist kein echter Beweis, da nie alle Ableitungen in | + | Diese Methode der Beweisführung ist kein echter Beweis, da nie alle Ableitungen in Betracht gezogen werden können, sondern nur ein kleiner Teil. |
Sie ist eher zum besseren Verstehen und Vorstellen vorhanden. | Sie ist eher zum besseren Verstehen und Vorstellen vorhanden. | ||
Aktuelle Version vom 26. Januar 2010, 21:36 Uhr
Inhaltsverzeichnis |
Beweisführung zur n-ten Ableitung der Funktion fa durch vollständige Induktion
Beweise, dass
die n-te Ableitung von 
ist. (Behauptung)
Hilfe zur vollständigen Induktion
1. Induktionsanfang:
Die erste Ableitung ist: 
(siehe Teilaufgabe a / Extrempunkte)
Die Behauptung stimmt damit überein:
2. Induktionsschritt:
Anfangsgleichung: 
Zielgleichung: 
Wenn die n-te Ableitung von fa für n stimmt, muss sie auch für n+1 stimmen.
Dies soll nun bewiesen werden.
Der Beweis stimmt, wenn 
Um die erste Ableitung zu bekommen, muss man hier die Produktregel verwenden
[Hilfe zur Produktregel]
Beweisführung durch Betrachtung der Ableitungen von 
Durch Betrachtung der Ableitungen und Integrale von 
lässt sich eine gewisse Regel erkennen.
Aus den gezeigten Ableitungen lässt sich erkennen, ausgehend von der Stammfunktion, dass für jede Ableitung der erste Faktor dieses Produkts (die Variablen in der Klammer) um eins abnimmt.
Außerdem wird bei jeder zweiten Ableitung eine Änderung des Vorzeichens verzeichnet. Das heißt, jede zweite Ableitung wird mit (-1) multipliziert.
- =
- =
Die durch die Überlegung entwickelte Formel für die n-te Ableitung von stimmt mit derjenigen, welche bewiesen werde sollte überein.
Diese Methode der Beweisführung ist kein echter Beweis, da nie alle Ableitungen in Betracht gezogen werden können, sondern nur ein kleiner Teil. Sie ist eher zum besseren Verstehen und Vorstellen vorhanden.
