Funktionsuntersuchungen: Unterschied zwischen den Versionen

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<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid blue; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; "> Dieses Kapitel dient zur Wiederholung der Eigenschaften der einzelnen Funktionstypen. Du solltest dir während des Bearbeitens Notizen zu den einzelnen Funktionstypen machen, sodass am Ende ein Übersichtsblatt mit den charakteristischen Merkmalen der Funktionen entsteht. </div> <br />
  
 
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<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid blue; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; "> Dieses Kapitel dient zur Wiederholung der Eigenschaften der einzelnen Funktionstypen. Du solltest dir während des Bearbeitens Notizen zu den einzelnen Funktionstypen machen, sodass am Ende ein Übersichtsblatt mit den charakteristischen Merkmalen der Funktionen entsteht. </div>
 
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Gegeben ist die Funktion f(x)=3x+1. Bestimme zu dieser Funktion den Definitionsbereich, die Wertemenge, die Steigung m und die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Plotte den Graphen der Funktion mit GeoGebra.
 
Gegeben ist die Funktion f(x)=3x+1. Bestimme zu dieser Funktion den Definitionsbereich, die Wertemenge, die Steigung m und die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Plotte den Graphen der Funktion mit GeoGebra.
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  <popup name="Lösung">
 
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D=<math>\mathbb{R}</math> <br />
 
D=<math>\mathbb{R}</math> <br />
 
W=<math>\mathbb{R}</math> <br />
 
W=<math>\mathbb{R}</math> <br />
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Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen: <br />
 
Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen: <br />
 
:y-Achse:  <br />
 
:y-Achse:  <br />
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::f(0)=3<math>\times</math>0+1=1  <math>\rightarrow</math>  P(0/1) <br />
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::f(0)=3<math>\cdot</math>0+1=1  <math>\rightarrow</math>  P(0/1) <br />
 
:x-Achse: <br />
 
:x-Achse: <br />
 
::f(x)=0 <br />
 
::f(x)=0 <br />
 
::3x+1=0 <br />
 
::3x+1=0 <br />
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::x=-1/3  <math>\rightarrow</math>  S(-1/3/0) <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
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::<math>x=- \frac{1} {3}</math> <math>\rightarrow</math>  <math>S \left(- \frac {1} {3}/0 \right)</math> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
  
 
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D=<math>\mathbb{R}</math>
 
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:g(x)=(x+1,5)<sup>2</sup>-4,25    <math>\rightarrow</math>  S(-1,5/-4,25)
 
:g(x)=(x+1,5)<sup>2</sup>-4,25    <math>\rightarrow</math>  S(-1,5/-4,25)
 
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== <span style="color: blue">Ganzrationale Funktionen</span> ==
 
== <span style="color: blue">Ganzrationale Funktionen</span> ==
  
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Gegeben ist die Funktion h(x)=2x<sup>7</sup>-2x<sup>6</sup>+4x<sup>4</sup>-4x<sup>3</sup>. Bestimme zu dieser Funktion Definitionsbereich, Wertemenge und die Nullstellen. Untersuche die Funktion außerdem auf ihr Verhalten im Unendlichen. Kontrolliere deine Ergebnisse wieder mit Geogebra.
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Gegeben ist die Funktion h(x)=2x<sup>7</sup>-2x<sup>6</sup>+4x<sup>4</sup>-4x<sup>3</sup>. Bestimme zu dieser Funktion Definitionsbereich, Wertemenge und die Nullstellen. Untersuche die Funktion außerdem auf ihr Verhalten im Unendlichen. Kontrolliere deine Ergebnisse wieder mit GeoGebra.
  
  
 
  <popup name="Lösung">
 
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D=<math>\mathbb{R}</math> <br />
 
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W=<math>\mathbb{R}</math> <br />
 
W=<math>\mathbb{R}</math> <br />
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x<sub>3</sub>=-∛2  <math>\rightarrow</math> h(x)=2x<sup>3</sup> (x-1)(x<sup>3</sup>+2)
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x<sub>3</sub>=-<math>\sqrt [3] 2</math>  <math>\rightarrow</math> h(x)=2x<sup>3</sup> (x-1)(x<sup>3</sup>+2)
  
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→ P<sub>1</sub> (0/0)         P<sub>2</sub> (1/0)     P<sub>3</sub> (-∛2/0) <br /> <br />
+
→ P<sub>1</sub> (0/0) ;      P<sub>2</sub> (1/0) ;    <math>P_3 (-\sqrt [3] 2/0)</math> <br /> <br />
 
Verhalten im Unendlichen: <br />
 
Verhalten im Unendlichen: <br />
−
<math>\lim_{x\to\infty} h(x)=\infty</math> <br />
+
<math>\lim_{x\to\infty} h(x)=\lim_{x\to\infty} 2x^7(1- \frac {1} {x}+ \frac {2} {x^3}- \frac {2} {x^4})=\infty</math> <br />
−
<math>\lim_{x\to-\infty} h(x)=-\infty</math> <br /> <br /> <br /> <br />
+
<math>\lim_{x\to-\infty} h(x)=\lim_{x\to-\infty} 2x^7(1- \frac {1} {x}+ \frac {2} {x^3}- \frac {2} {x^4})=-\infty</math> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
  
 
</popup>
 
</popup>
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== <span style="color: blue">Gebrochen rationale Funktionen</span> ==
 
== <span style="color: blue">Gebrochen rationale Funktionen</span> ==
  
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Bestimme zu der Funktion j(x)= <math>{5x+3 \over 3x-1}</math>  die Asymptoten. Folgere daraus die Defintions- und Wertemenge. Berechne außerdem die Nullstelle der Funktion.
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Bestimme zu der Funktion j(x)= <math>{5x+3 \over 3x-1}</math>  die Asymptoten. Folgere daraus die Definitions- und Wertemenge. Berechne außerdem die Nullstelle der Funktion.
  
  
 
<popup name="Lösung">
 
<popup name="Lösung">
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[[Bild:Lösung5.4.png|450px|right]]
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Asymptoten: <br />
 
Asymptoten: <br />
−
<math>\lim_{x\to \pm\infty}</math><math>{5x+3 \over 3x-1}</math>=<math>\lim_{x\to \pm\infty}</math><math>{x(5+3/x) \over x(3-1/x)}</math> =<math>{5 \over 3}</math> <br />
+
<math>\lim_{x\to \pm\infty}</math><math>{5x+3 \over 3x-1}</math>=<math>\lim_{x\to \pm\infty}</math><math>{x(5+\frac 3x) \over x(3-\frac 1x)}</math> =<math>{5 \over 3}</math> <br />
−
::y= <math>{5 \over 3}</math> <math>\rightarrow</math> W=<math>\mathbb{R}</math> \<math>{{5 \over 3}}</math> <br />
+
::y= <math>{5 \over 3}</math> <math>\rightarrow</math> W=<math>\mathbb{R}</math> \ <math>\left (\frac 5 3 \right)</math><br />
−
::x=<math>{1 \over 3}</math> <math>\rightarrow</math> D=<math>\mathbb{R}</math> \<math>{{1 \over 3}}</math>
+
::x=<math>{1 \over 3}</math> <math>\rightarrow</math> D=<math>\mathbb{R}</math> \<math>\left (\frac 1 3 \right)</math>
  
 
Nullstelle: <br />
 
Nullstelle: <br />
 
::j(x)=<math>{5x+3 \over 3x-1}</math> | <math>\times</math>(3x-1) <br />
 
::j(x)=<math>{5x+3 \over 3x-1}</math> | <math>\times</math>(3x-1) <br />
 
::j(x)=5x+3 <br />
 
::j(x)=5x+3 <br />
−
::x=<math>-{3 \over 5}</math> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
+
::x=<math>-{3 \over 5}</math> → <math>P \left(-{3 \over 5}/0 \right) </math> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
  
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</popup>
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== <span style="color: blue">Trigonometrische Funktionen</span> ==
 
== <span style="color: blue">Trigonometrische Funktionen</span> ==
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  <popup name="Lösung">
 
  <popup name="Lösung">
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[[Bild:Lösung5.5.png|450px|right]]
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D=<math>\mathbb{R}</math> <br /> <br />
 
D=<math>\mathbb{R}</math> <br /> <br />
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Amplitude:2 <br />
 
Amplitude:2 <br />
  
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Nullstellen: x<sub>k</sub>=<math>2k {\Pi \over 2}</math> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
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Nullstellen: <math>x_k=2k {\Pi \over 2}</math> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
  
 
</popup>
 
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<br /> <br />
  
 
== <span style="color: blue">Exponentialfunktionen</span> ==
 
== <span style="color: blue">Exponentialfunktionen</span> ==
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<popup name="Lösung">
 
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<br /> <br />
 
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D=<math>\mathbb{R}</math> <br /> <br />
 
D=<math>\mathbb{R}</math> <br /> <br />
 
W=<math>\mathbb{R}</math><sup>+</sup> <br /> <br />
 
W=<math>\mathbb{R}</math><sup>+</sup> <br /> <br />
 
Graph: steigend <br /> <br />
 
Graph: steigend <br /> <br />
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Asymptote: x=0 <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
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Asymptote: x=0 <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
  
 
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== <span style="color: blue">Wurzelfunktionen</span> ==
 
== <span style="color: blue">Wurzelfunktionen</span> ==
  
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Gegeben ist die Funktion f(x)=<math>\sqrt (x)</math>. Bestimme die Definitionsmenge und die Nullstelle.
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Gegeben ist die Funktion f(x)=<math>\sqrt x</math> . Bestimme die Definitionsmenge und die Nullstelle. <br /> <br />
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<popup name="Lösung">
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[[Bild:Wurzelfunktionneu.png|450px|right]]
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D=]0;<math>\infty</math>]  &nbsp; &nbsp; da unter der Wurzel keine negativen Werte stehen dürfen.
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:f(x)=0
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:<math>\sqrt x</math>=0
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:x=0 <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
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[[Facharbeit Florian Wilk/Übungsaufgaben|Weiter zum Kapitel Übungsaufgaben]]
 
[[Facharbeit Florian Wilk/Übungsaufgaben|Weiter zum Kapitel Übungsaufgaben]]

Aktuelle Version vom 27. Januar 2010, 21:25 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Funktionsuntersuchungen

Dieses Kapitel dient zur Wiederholung der Eigenschaften der einzelnen Funktionstypen. Du solltest dir während des Bearbeitens Notizen zu den einzelnen Funktionstypen machen, sodass am Ende ein Übersichtsblatt mit den charakteristischen Merkmalen der Funktionen entsteht.

Lineare Funktionen

Gegeben ist die Funktion f(x)=3x+1. Bestimme zu dieser Funktion den Definitionsbereich, die Wertemenge, die Steigung m und die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Plotte den Graphen der Funktion mit GeoGebra.



Quadratische Funktionen

Gegeben ist die Funktion g(x)=x2+3x-2. Bestimme zu dieser Funktion Definitions- und Wertemenge, die Nullstellen und den Scheitel. Beschreibe den Verlauf des Graphen und plotte die Funktion mit GeoGebra. Vergleiche anschließend die rechnerischen Ergebnisse mit der Zeichnung.




Ganzrationale Funktionen

Gegeben ist die Funktion h(x)=2x7-2x6+4x4-4x3. Bestimme zu dieser Funktion Definitionsbereich, Wertemenge und die Nullstellen. Untersuche die Funktion außerdem auf ihr Verhalten im Unendlichen. Kontrolliere deine Ergebnisse wieder mit GeoGebra.




Gebrochen rationale Funktionen

Bestimme zu der Funktion j(x)= {5x+3 \over 3x-1} die Asymptoten. Folgere daraus die Definitions- und Wertemenge. Berechne außerdem die Nullstelle der Funktion.




Trigonometrische Funktionen

Gegeben ist die Funktion k(x)=2cosx. Bestimme den Definitionsbereich, die Wertemenge, die Amplitude und die Nullstellen.




Exponentialfunktionen

Gegeben ist die Funktion l(x)=4x. Bestimme die Definitionsmenge, den Wertebereich, die Asymptote in x-Richtung und beschreibe den Verlauf des Graphen. Vergleiche deine Ergebnisse mit dem Graphen, den dir GeoGebra liefert.



Wurzelfunktionen

Gegeben ist die Funktion f(x)=\sqrt x . Bestimme die Definitionsmenge und die Nullstelle.



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