Funktionsuntersuchungen: Unterschied zwischen den Versionen

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= Funktionsuntersuchungen =
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== Lineare Funktionen ==
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<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid blue; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; "> Dieses Kapitel dient zur Wiederholung der Eigenschaften der einzelnen Funktionstypen. Du solltest dir während des Bearbeitens Notizen zu den einzelnen Funktionstypen machen, sodass am Ende ein Übersichtsblatt mit den charakteristischen Merkmalen der Funktionen entsteht. </div> <br />
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== <span style="color: blue">Lineare Funktionen</span> ==
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Gegeben ist die Funktion f(x)=3x+1. Bestimme zu dieser Funktion den Definitionsbereich, die Wertemenge, die Steigung m und die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Plotte den Graphen der Funktion mit GeoGebra.
 
Gegeben ist die Funktion f(x)=3x+1. Bestimme zu dieser Funktion den Definitionsbereich, die Wertemenge, die Steigung m und die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Plotte den Graphen der Funktion mit GeoGebra.
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<popup name="Lösung">
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D=<math>\mathbb{R}</math> <br />
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W=<math>\mathbb{R}</math> <br />
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Steigung: m=3 <br />
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Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen: <br />
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:y-Achse:  <br />
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::f(0)=3<math>\cdot</math>0+1=1  <math>\rightarrow</math>  P(0/1) <br />
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:x-Achse: <br />
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::f(x)=0 <br />
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::3x+1=0 <br />
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::<math>x=- \frac{1} {3}</math>  <math>\rightarrow</math>  <math>S \left(- \frac {1} {3}/0 \right)</math> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
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</popup>
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== <span style="color: blue">Quadratische Funktionen</span> ==
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Gegeben ist die Funktion g(x)=x<sup>2</sup>+3x-2. Bestimme zu dieser Funktion Definitions- und Wertemenge, die Nullstellen und den Scheitel. Beschreibe den Verlauf des Graphen und plotte die Funktion mit GeoGebra. Vergleiche anschließend die rechnerischen Ergebnisse mit der Zeichnung.
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<popup name="Lösung">
 
<popup name="Lösung">
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f(x)=3x+1 
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D=<math>\mathbb{R}</math>
  
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D=R
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W=[-4;∞[
  
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W=R
+
Nullstellen: Lösungsformel
  
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Steigung: m=3
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<math> x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math> <br />
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<math> x_{1,2} = \frac{-3\pm\sqrt{3^2+8}}{2}</math> <br />
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<math> x_{1,2} = \frac{-3\pm\sqrt{17}}{2}</math> <br />
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:x<sub>1</sub>=0,56    <math>\rightarrow</math>  P<sub>1</sub>(0,56/0)<br />
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:x<sub>2</sub>=-3,56  <math>\rightarrow</math>  P<sub>2</sub>(-3,56/0)
  
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Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen:
 
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y-Achse: f(0)=3×0+1=1  -->  P(0/1)
 
  
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x-Achse: f(x)=0
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Graph: nach oben geöffnete Parabel
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  3x+1=0
+
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  x=-1/3  -->  S(-1/3/0)
+
  
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Scheitel: Die x-Koordinate des Scheitels befindet sich mittig zwischen den beiden Nullstellen <math>\rightarrow</math>    x=-1,5 <br />
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:f(-1,5)=-4,25 <math>\rightarrow</math> S(-1,5;-4,25)
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<u>Oder:</u> Quadratische Ergänzung:<br />
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:g(x)=x²+3x-2 <br />
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:g(x)=x²+3x+1,5²-1,5²-2 <br />
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:g(x)=(x<sup>2</sup>+3x+1,5<sup>2</sup> )-4,25 <br />
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:g(x)=(x+1,5)<sup>2</sup>-4,25    <math>\rightarrow</math>  S(-1,5/-4,25)
 
</popup>
 
</popup>
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<br /> <br />
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== <span style="color: blue">Ganzrationale Funktionen</span> ==
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Gegeben ist die Funktion h(x)=2x<sup>7</sup>-2x<sup>6</sup>+4x<sup>4</sup>-4x<sup>3</sup>. Bestimme zu dieser Funktion Definitionsbereich, Wertemenge und die Nullstellen. Untersuche die Funktion außerdem auf ihr Verhalten im Unendlichen. Kontrolliere deine Ergebnisse wieder mit GeoGebra.
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<popup name="Lösung">
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[[Bild:Graph5.3.png|450px|right]]
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D=<math>\mathbb{R}</math> <br />
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W=<math>\mathbb{R}</math> <br />
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Nullstellen: <br /> h(x)=2x<sup>7</sup>-2x<sup>6</sup>+4x<sup>4</sup>-4x<sup>3</sup>
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h(x)=2x<sup>3</sup> (x<sup>4</sup>-x<sup>3</sup>+2x-2) <math>\rightarrow</math> x<sub>1</sub>=0 (dreifache Nullstelle) <br />
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Ausprobieren: x<sub>2</sub>=1 <br />
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Polynomdivision:
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(x<sup>4</sup>-x<sup>3</sup>+2x-2)÷(x-1)=x<sup>3</sup>+2
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x<sub>3</sub>=-<math>\sqrt [3] 2</math>  <math>\rightarrow</math> h(x)=2x<sup>3</sup> (x-1)(x<sup>3</sup>+2)
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→ P<sub>1</sub> (0/0)  ;      P<sub>2</sub> (1/0)  ;    <math>P_3 (-\sqrt [3] 2/0)</math> <br /> <br />
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Verhalten im Unendlichen: <br />
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<math>\lim_{x\to\infty} h(x)=\lim_{x\to\infty} 2x^7(1- \frac {1} {x}+ \frac {2} {x^3}- \frac {2} {x^4})=\infty</math> <br />
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<math>\lim_{x\to-\infty} h(x)=\lim_{x\to-\infty} 2x^7(1- \frac {1} {x}+ \frac {2} {x^3}- \frac {2} {x^4})=-\infty</math> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
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</popup>
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<br /> <br />
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== <span style="color: blue">Gebrochen rationale Funktionen</span> ==
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Bestimme zu der Funktion j(x)= <math>{5x+3 \over 3x-1}</math>  die Asymptoten. Folgere daraus die Definitions- und Wertemenge. Berechne außerdem die Nullstelle der Funktion.
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<popup name="Lösung">
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[[Bild:Graph5.4.png|450px|right]]
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Asymptoten: <br />
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<math>\lim_{x\to \pm\infty}</math><math>{5x+3 \over 3x-1}</math>=<math>\lim_{x\to \pm\infty}</math><math>{x(5+\frac 3x) \over x(3-\frac 1x)}</math> =<math>{5 \over 3}</math> <br />
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::y= <math>{5 \over 3}</math> <math>\rightarrow</math> W=<math>\mathbb{R}</math> \ <math>\left (\frac 5 3 \right)</math><br />
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::x=<math>{1 \over 3}</math> <math>\rightarrow</math> D=<math>\mathbb{R}</math> \<math>\left (\frac 1 3 \right)</math>
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Nullstelle: <br />
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::j(x)=<math>{5x+3 \over 3x-1}</math> | <math>\times</math>(3x-1) <br />
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::j(x)=5x+3 <br />
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::x=<math>-{3 \over 5}</math> → <math>P \left(-{3 \over 5}/0 \right) </math> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
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</popup>
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<br /> <br />
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== <span style="color: blue">Trigonometrische Funktionen</span> ==
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Gegeben ist die Funktion k(x)=2cosx. Bestimme den Definitionsbereich, die Wertemenge, die Amplitude und die Nullstellen.
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<popup name="Lösung">
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[[Bild:Graph5.5.png|450px|right]]
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<br /> <br />
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D=<math>\mathbb{R}</math> <br /> <br />
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W={-2;2} <br /> <br />
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Amplitude:2 <br />
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Nullstellen: <math>x_k=2k {\Pi \over 2}</math> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
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</popup>
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<br /> <br />
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== <span style="color: blue">Exponentialfunktionen</span> ==
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Gegeben ist die Funktion l(x)=4<sup>x</sup>. Bestimme die Definitionsmenge, den Wertebereich, die Asymptote in x-Richtung und beschreibe den Verlauf des Graphen. Vergleiche deine Ergebnisse mit dem Graphen, den dir GeoGebra liefert.
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<popup name="Lösung">
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[[Bild:Graph5.6.png|450px|right]]
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<br /> <br />
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D=<math>\mathbb{R}</math> <br /> <br />
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W=<math>\mathbb{R}</math><sup>+</sup> <br /> <br />
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Graph: steigend <br /> <br />
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Asymptote: x=0 <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
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</popup>
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== <span style="color: blue">Wurzelfunktionen</span> ==
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Gegeben ist die Funktion f(x)=<math>\sqrt x</math> . Bestimme die Definitionsmenge und die Nullstelle. <br /> <br />
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<popup name="Lösung">
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[[Bild:Wurzelfunktionneu.png|450px|right]]
 +
D=]0;<math>\infty</math>]  &nbsp; &nbsp; da unter der Wurzel keine negativen Werte stehen dürfen.
 +
:f(x)=0
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:<math>\sqrt x</math>=0
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:x=0 <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />
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</popup>
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<br /> <br />
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[[Facharbeit Florian Wilk/Übungsaufgaben|Weiter zum Kapitel Übungsaufgaben]]
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== Quadratische Funktionen ==
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[[Facharbeit Florian Wilk|Zurück zur Übersicht]]
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== Ganzrationale Funktionen ==
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== Gebrochen rationale Funktionen ==
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== Trigonometrische Funktionen ==
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== Exponentialfunktionen ==
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Aktuelle Version vom 27. Januar 2010, 21:25 Uhr

Inhaltsverzeichnis

Funktionsuntersuchungen

Dieses Kapitel dient zur Wiederholung der Eigenschaften der einzelnen Funktionstypen. Du solltest dir während des Bearbeitens Notizen zu den einzelnen Funktionstypen machen, sodass am Ende ein Übersichtsblatt mit den charakteristischen Merkmalen der Funktionen entsteht.

Lineare Funktionen

Gegeben ist die Funktion f(x)=3x+1. Bestimme zu dieser Funktion den Definitionsbereich, die Wertemenge, die Steigung m und die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen. Plotte den Graphen der Funktion mit GeoGebra.



Quadratische Funktionen

Gegeben ist die Funktion g(x)=x2+3x-2. Bestimme zu dieser Funktion Definitions- und Wertemenge, die Nullstellen und den Scheitel. Beschreibe den Verlauf des Graphen und plotte die Funktion mit GeoGebra. Vergleiche anschließend die rechnerischen Ergebnisse mit der Zeichnung.




Ganzrationale Funktionen

Gegeben ist die Funktion h(x)=2x7-2x6+4x4-4x3. Bestimme zu dieser Funktion Definitionsbereich, Wertemenge und die Nullstellen. Untersuche die Funktion außerdem auf ihr Verhalten im Unendlichen. Kontrolliere deine Ergebnisse wieder mit GeoGebra.




Gebrochen rationale Funktionen

Bestimme zu der Funktion j(x)= {5x+3 \over 3x-1} die Asymptoten. Folgere daraus die Definitions- und Wertemenge. Berechne außerdem die Nullstelle der Funktion.




Trigonometrische Funktionen

Gegeben ist die Funktion k(x)=2cosx. Bestimme den Definitionsbereich, die Wertemenge, die Amplitude und die Nullstellen.




Exponentialfunktionen

Gegeben ist die Funktion l(x)=4x. Bestimme die Definitionsmenge, den Wertebereich, die Asymptote in x-Richtung und beschreibe den Verlauf des Graphen. Vergleiche deine Ergebnisse mit dem Graphen, den dir GeoGebra liefert.



Wurzelfunktionen

Gegeben ist die Funktion f(x)=\sqrt x . Bestimme die Definitionsmenge und die Nullstelle.



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