Schluss: Unterschied zwischen den Versionen

Aus RMG-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
(Lösung eingefügt)
(Lösung eingefügt)
 
(4 dazwischenliegende Versionen von einem Benutzer werden nicht angezeigt)
Zeile 31: Zeile 31:
 
*<math>\Leftrightarrow (\sqrt{37})^2=6^2+1^2</math>
 
*<math>\Leftrightarrow (\sqrt{37})^2=6^2+1^2</math>
 
*<math>\Leftrightarrow {37=37\,}</math><br /><br />
 
*<math>\Leftrightarrow {37=37\,}</math><br /><br />
−
*Der Satz des Pythagoras ergibt eine wahre Aussage, also muss das Dreieck rechtwinklig sein
+
*Der Satz des Pythagoras ergibt eine wahre Aussage, also muss das Dreieck <math>\triangle{KLM}</math> rechtwinklig sein
 +
}}
 +
 
 +
 
 +
b) {{Lösung versteckt|
 +
*Im Folgenden siehst du eine '''Skizze''' zur Aufgabenstellung:<br />
 +
[[Bild:Lernpfad_SdP_Skizze_SdP_1b.png]]<br />
 +
*h soll berechnet werden, das geht über zwei Ansätze:
 +
*'''1)''' Höhe über den Satz des Pythagoras in einem der kleineren rechtwinkligen Dreiecke berechnen
 +
*'''2)''' Höhe über den Höhensatz berechnen<br /><br />
 +
 
 +
'''1.Möglichkeit:'''
 +
*Man berechnet zunächst p oder q über den Kathetensatz:<br />
 +
*<math>(\overline{MK})^2=\overline{ML} \cdot q</math>
 +
*<math>q=\frac{(\overline{MK})^2}{\overline{ML}}=\frac{36}{\sqrt{37}} \approx 5,92</math><br /><br />
 +
 
 +
*Danach setzt man den Satz des Pythagoras für das entsprechende rechtwinklige Dreieck an:<br />
 +
*<math>(\overline{MK})^2=h^2+q^2</math>
 +
*<math>h^2=(\overline{MK})^2-q^2</math>
 +
*<math>h=\sqrt{(\overline{MK})^2-q^2}=\sqrt{6^2-(5,92)^2} \approx 0,99</math><br /><br />
 +
 
 +
'''2.Möglichkeit:'''
 +
*Man berechnet zunächst p oder q über den Kathetensatz:<br />
 +
*<math>(\overline{KL})^2=\overline{ML} \cdot p</math>
 +
*<math>p=\frac{(\overline{KL})^2}{\overline{ML}}=\frac{1}{\sqrt{37}} \approx 0,16</math><br /><br />
 +
 
 +
*Danach berechnet man den fehlenden Hypotenusenabschnitt:<br />
 +
*<math>{h=p+q\,}</math>
 +
*<math>q=h-p=\sqrt{37}-0,16 \approx 5,92</math><br /><br />
 +
 
 +
*Jetzt kann man die Höhe über den Höhensatz berechnen:<br />
 +
*<math>h^2=p \cdot q</math>
 +
*<math>h=\sqrt{p \cdot q}=\sqrt{(0,16) \cdot (5,92)} \approx 0,99</math>
 
}}
 
}}
 
==Aufgabe 2==
 
==Aufgabe 2==
 
{{Lösung versteckt|
 
{{Lösung versteckt|
 +
*Wähle <math>{Hypotenuse=a\,}</math>, <math>{Kathete_1=b\,}</math> und <math>{Kathete_2=c\,}</math><br /><br />
 +
 +
*Die beiden Hypotenusenabschnitte ergeben addiert die Länge der Hypotenuse
 +
*<math>{a=g+h=3cm+5cm=8cm\,}</math><br /><br />
 +
 +
*Die Höhe kann man über den Höhensatz berechnen:<br />
 +
*<math>{h^2=g \cdot h\,}</math>
 +
*<math>h=\sqrt{g \cdot h}=\sqrt{3cm \cdot 5cm}=\sqrt{15}cm</math><br /><br />
 +
 +
*Die beiden Katheten können über den Kathetensatz berechnet werden:
 +
*Wähle <math>{g\,}</math> anliegend an <math>{b\,}</math> und <math>{h\,}</math> anliegend an <math>{c\,}</math><br />
 +
*<math>{b^2=a \cdot g\,}</math>
 +
*<math>b=\sqrt{a \cdot g}=\sqrt{\sqrt{15}cm \cdot 3cm} \approx 3,41cm</math><br /><br />
 +
*<math>{c^2=a \cdot h\,}</math>
 +
*<math>c=\sqrt{a \cdot h}=\sqrt{\sqrt{15}cm \cdot 5cm} \approx 4,40cm</math><br /><br />
 +
*Die Länge der beiden Katheten könnte auch über den Satz des Pythagoras in den kleineren rechtwinkligen Dreiecken, die durch das Einzeichnen der Höhe entstehen, berechnet werden
 +
*Die zweite Kathete könnte auch über den Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck <math>\triangle{ABC}</math> berechnet werden
 
}}
 
}}
 
==Aufgabe 3==
 
==Aufgabe 3==
 
{{Lösung versteckt|
 
{{Lösung versteckt|
 +
*Die Bilddiagonale ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks (vgl. Grafik zu Aufgabe 20 in deinem Mathematik Buch auf S.48)
 +
*Die Katheten verhalten sich dabei wie 16 Teile zu 9 Teilen
 +
*Wähle ein Teil als <math>{x\,}</math>
 +
*Damit hat die Breite <math>{16x\,}</math> und die Höhe <math>{9x\,}</math>
 +
*Damit kann man den Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Dreieck ansetzen:<br />
 +
*<math>{(80cm)^2=(16x)^2+(9x)^2\,}</math>
 +
*<math>{6400cm^2=256x^2+81x^2\,}</math>
 +
*<math>{6400cm^2=337x^2\,}</math>
 +
*<math>x^2=\frac{6400}{337}cm^2</math>
 +
*<math>x=\sqrt{\frac{6400}{337}}cm \approx 4,36cm</math><br /><br />
 +
Die Breite beträgt <math>{16x\,}</math>
 +
*<math>{b=16 \cdot 4,36cm=69,76cm\,}</math>
 +
*<math>69,76cm < 75cm \Rightarrow</math> Der Fernseher passt in die Nische
 
}}
 
}}
 
==Aufgabe 4==
 
==Aufgabe 4==
 
{{Lösung versteckt|
 
{{Lösung versteckt|
 +
*Bei einem Würfel sind alle Kanten gleich lang
 +
*Die Diagonale <math>{d\,}</math> über eine Seite des Würfels berechnet sich also wie folgt:
 +
*<math>{d^2=(10cm)^2+(10cm)^2\,}</math>
 +
*<math>d=\sqrt{100cm^2+100cm^2}=\sqrt{200}cm</math><br /><br />
 +
 +
*Da alle Diagonalen gleich lang sind, muss das gesuchte Dreieck, das als Seiten drei Diagonalen hat, gleichseitig sein
 +
*Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich so: <math>A_D=\frac{1}{2} \cdot g \cdot h</math>
 +
*Grundseite ist die Diagonale, es fehlt also noch die Höhe
 +
*Die Idee zur Berechnung der Höhe in einem gleichseitigen Dreieck wurde bereits auf einem vorhergehenden Übungsblatt behandelt
 +
*Du findest sie auf [[Lernpfad zur Satzgruppe des Pythagoras/Lösungen zum Übungsblatt zum Satz des Pythagoras|dieser Seite]] in '''Aufgabe 3'''<br /><br />
 +
 +
*<math>(\sqrt{200}cm)^2=(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{200}cm)^2+h^2</math>
 +
*<math>h^2=(\sqrt{200}cm)^2-(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{200}cm)^2</math>
 +
*<math>h=\sqrt{(\sqrt{200}cm)^2-(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{200}cm)^2}</math>
 +
*<math>h=\sqrt{200cm^2-\frac{1}{4} \cdot 200cm^2}</math>
 +
*<math>h=\sqrt{200cm^2-50cm^2}</math><br />
 +
*<math>h=\sqrt{150}cm</math><br /><br />
 +
 +
*Damit kann man den Flächeninhalt des Dreiecks berechnen:<br />
 +
*<math>A_D=\frac{1}{2} \cdot g \cdot h</math>
 +
*<math>A_D=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{200}cm \cdot \sqrt{150}cm \approx 86,60cm^2</math>
 
}}
 
}}
 
==Aufgabe 5==
 
==Aufgabe 5==
 
{{Lösung versteckt|
 
{{Lösung versteckt|
 +
*Man kann das rechtwinklige Feld entweder über den Höhen- oder den Kathetensatz umwandeln
 +
*Um dir die beiden Verfahren noch einmal anzusehen siehe auf den beiden folgenden Seiten nach:
 +
*[[Lernpfad zur Satzgruppe des Pythagoras/Umwandlung Rechteck in Quadrat (H) - Seite 7|Umwandlung über den Höhensatz]]
 +
*[[Lernpfad zur Satzgruppe des Pythagoras/Umwandlung Rechteck in Quadrat (K) - Seite 8|Umwandlung über den Kathetensatz]]
 
}}
 
}}
  

Aktuelle Version vom 25. Januar 2009, 14:44 Uhr

Arbeitsauftrag:

  • Hole dir das Arbeitsblatt Die Satzgruppe des Pythagoras
  • Fülle das Arbeitsblatt anhand der im Lernpfad gelernten Sätze aus
  • HINWEIS: Solltest du dir bei einem der Sätze nicht mehr sicher sein, lies noch einmal im Heft oder im Lernpfad nach
  • Vergleiche deine Lösungen mit den Einträgen aus dem Heft oder mit den entsprechenden Seiten des Lernpfades


Arbeitsauftrag:

  • Hole dir das Übungsblatt zur Satzgruppe des Pythagoras
  • Löse die Aufgaben und vergleiche sie mit den unten stehenden Lösungen


Aufgabe 1

a)

  • Wenn das Dreieck \triangle{KLM} rechtwinklig ist, ergibt der Satz des Pythagoras eine wahre Aussage
  • Man muss also den Satz des Pythagoras für das Dreieck ansetzen
  • Dazu berechnet man zunächst die einzelnen Seitenlängen:
  • \overline{KL}=\sqrt{(7-1)^2+(1-1)^2}=6
  • \overline{LM}=\sqrt{(7-1)^2+(2-1)^2}=\sqrt{37}
  • \overline{KM}=\sqrt{(1-1)^2+(2-1)^2}=1


  • Nun kann man den Satz des Pythagoras ansetzen
  • \overline{LM}=\sqrt{37} ist die längste Seite des Dreiecks und wäre auch die Hypotenuse

  • Daraus folgt der Ansatz:

  • (\overline{LM})^2=(\overline{KL})^2+(\overline{KM})^2
  • \Leftrightarrow (\sqrt{37})^2=6^2+1^2
  • \Leftrightarrow {37=37\,}

  • Der Satz des Pythagoras ergibt eine wahre Aussage, also muss das Dreieck \triangle{KLM} rechtwinklig sein


b)

  • Im Folgenden siehst du eine Skizze zur Aufgabenstellung:

Lernpfad SdP Skizze SdP 1b.png

  • h soll berechnet werden, das geht über zwei Ansätze:
  • 1) Höhe über den Satz des Pythagoras in einem der kleineren rechtwinkligen Dreiecke berechnen
  • 2) Höhe über den Höhensatz berechnen

1.Möglichkeit:

  • Man berechnet zunächst p oder q über den Kathetensatz:
  • (\overline{MK})^2=\overline{ML} \cdot q
  • q=\frac{(\overline{MK})^2}{\overline{ML}}=\frac{36}{\sqrt{37}} \approx 5,92

  • Danach setzt man den Satz des Pythagoras für das entsprechende rechtwinklige Dreieck an:
  • (\overline{MK})^2=h^2+q^2
  • h^2=(\overline{MK})^2-q^2
  • h=\sqrt{(\overline{MK})^2-q^2}=\sqrt{6^2-(5,92)^2} \approx 0,99

2.Möglichkeit:

  • Man berechnet zunächst p oder q über den Kathetensatz:
  • (\overline{KL})^2=\overline{ML} \cdot p
  • p=\frac{(\overline{KL})^2}{\overline{ML}}=\frac{1}{\sqrt{37}} \approx 0,16

  • Danach berechnet man den fehlenden Hypotenusenabschnitt:
  • {h=p+q\,}
  • q=h-p=\sqrt{37}-0,16 \approx 5,92

  • Jetzt kann man die Höhe über den Höhensatz berechnen:
  • h^2=p \cdot q
  • h=\sqrt{p \cdot q}=\sqrt{(0,16) \cdot (5,92)} \approx 0,99

Aufgabe 2

  • Wähle {Hypotenuse=a\,}, {Kathete_1=b\,} und {Kathete_2=c\,}

  • Die beiden Hypotenusenabschnitte ergeben addiert die Länge der Hypotenuse
  • {a=g+h=3cm+5cm=8cm\,}

  • Die Höhe kann man über den Höhensatz berechnen:
  • {h^2=g \cdot h\,}
  • h=\sqrt{g \cdot h}=\sqrt{3cm \cdot 5cm}=\sqrt{15}cm

  • Die beiden Katheten können über den Kathetensatz berechnet werden:
  • Wähle {g\,} anliegend an {b\,} und {h\,} anliegend an {c\,}
  • {b^2=a \cdot g\,}
  • b=\sqrt{a \cdot g}=\sqrt{\sqrt{15}cm \cdot 3cm} \approx 3,41cm

  • {c^2=a \cdot h\,}
  • c=\sqrt{a \cdot h}=\sqrt{\sqrt{15}cm \cdot 5cm} \approx 4,40cm

  • Die Länge der beiden Katheten könnte auch über den Satz des Pythagoras in den kleineren rechtwinkligen Dreiecken, die durch das Einzeichnen der Höhe entstehen, berechnet werden
  • Die zweite Kathete könnte auch über den Satz des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck \triangle{ABC} berechnet werden

Aufgabe 3

  • Die Bilddiagonale ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks (vgl. Grafik zu Aufgabe 20 in deinem Mathematik Buch auf S.48)
  • Die Katheten verhalten sich dabei wie 16 Teile zu 9 Teilen
  • Wähle ein Teil als {x\,}
  • Damit hat die Breite {16x\,} und die Höhe {9x\,}
  • Damit kann man den Satz des Pythagoras für das rechtwinklige Dreieck ansetzen:
  • {(80cm)^2=(16x)^2+(9x)^2\,}
  • {6400cm^2=256x^2+81x^2\,}
  • {6400cm^2=337x^2\,}
  • x^2=\frac{6400}{337}cm^2
  • x=\sqrt{\frac{6400}{337}}cm \approx 4,36cm

Die Breite beträgt {16x\,}

  • {b=16 \cdot 4,36cm=69,76cm\,}
  • 69,76cm < 75cm \Rightarrow Der Fernseher passt in die Nische

Aufgabe 4

  • Bei einem Würfel sind alle Kanten gleich lang
  • Die Diagonale {d\,} über eine Seite des Würfels berechnet sich also wie folgt:
  • {d^2=(10cm)^2+(10cm)^2\,}
  • d=\sqrt{100cm^2+100cm^2}=\sqrt{200}cm

  • Da alle Diagonalen gleich lang sind, muss das gesuchte Dreieck, das als Seiten drei Diagonalen hat, gleichseitig sein
  • Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich so: A_D=\frac{1}{2} \cdot g \cdot h
  • Grundseite ist die Diagonale, es fehlt also noch die Höhe
  • Die Idee zur Berechnung der Höhe in einem gleichseitigen Dreieck wurde bereits auf einem vorhergehenden Übungsblatt behandelt
  • Du findest sie auf dieser Seite in Aufgabe 3

  • (\sqrt{200}cm)^2=(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{200}cm)^2+h^2
  • h^2=(\sqrt{200}cm)^2-(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{200}cm)^2
  • h=\sqrt{(\sqrt{200}cm)^2-(\frac{1}{2} \cdot \sqrt{200}cm)^2}
  • h=\sqrt{200cm^2-\frac{1}{4} \cdot 200cm^2}
  • h=\sqrt{200cm^2-50cm^2}
  • h=\sqrt{150}cm

  • Damit kann man den Flächeninhalt des Dreiecks berechnen:
  • A_D=\frac{1}{2} \cdot g \cdot h
  • A_D=\frac{1}{2} \cdot \sqrt{200}cm \cdot \sqrt{150}cm \approx 86,60cm^2

Aufgabe 5

Symbol thumbs up.svg Sehr schön! Du hast den Lernpfad zur Satzgruppe des Pythagoras jetzt beendet Symbol thumbs up.svg
Von „http://rmg.zum.de/index.php?title=Lernpfad_zur_Satzgruppe_des_Pythagoras/Schluss&oldid=12431“