Höhensatz: Unterschied zwischen den Versionen
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*Die Höhe in einem rechtwinkligen Dreieck steht '''immer''' senkrecht auf die Hypotenuse<br /><br /> | *Die Höhe in einem rechtwinkligen Dreieck steht '''immer''' senkrecht auf die Hypotenuse<br /><br /> | ||
− | *Die Höhe teilt die Hypotenuse in zwei Teile, die '''Hypotenusenabschnitte'''<br />(in der Zeichnung p und q)<br /><br /> | + | *Die Höhe teilt die Hypotenuse in zwei Teile, die '''Hypotenusenabschnitte'''<br />(in der Zeichnung <span style="color: blue">'''p'''</span> und <span style="color: red">'''q'''</span>)<br /><br /> |
*Die Hypotenuseabschnitte liegen jeweils an '''einer''' der beiden Katheten an | *Die Hypotenuseabschnitte liegen jeweils an '''einer''' der beiden Katheten an | ||
*In '''diesem''' Fall kann man sagen: | *In '''diesem''' Fall kann man sagen: | ||
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Aktuelle Version vom 24. Januar 2009, 20:00 Uhr
Der Höhensatz
Ein weiterer Satz aus der Satzgruppe des Pythagoras ist der Höhensatz.
Arbeitsauftrag:
- Zeichne das oben stehende rechtwinklige Dreieck mit den Seitenbezeichnungen unter der Überschrift Der Höhensatz in dein Heft
- Notiere dir die Bemerkungen rechts vom rechtwinkligen Dreieck
- Wenn du damit fertig bist betrachte die folgenden Grafiken
- Ausgangspunkt für die folgende Überlegung ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der Höhe h und den Hypotenusenabschnitten p und q
- Aus diesem rechtwinkligen Dreieck kann man zwei kleinere rechtwinklige Dreiecke machen
- Eines hat als Länge der Katheten p und h, das andere hat Katheten der Längen q und h
- Diese beiden rechtwinkligen Dreiecke kann man nun verschieden aneinander anlegen und so ein neues rechtwinkliges Dreieck erzeugen
- Die zwei Möglichkeiten neue rechtwinklige Dreiecke zu erzeugen seht ihr in den beiden folgenden Grafiken
Arbeitsauftrag:
- Hole dir das Arbeitsblatt Beweis zum Höhensatz
- Berechne auf dem Arbeitsblatt den Flächeninhalt der beiden unten stehenden Dreiecke!
- Was fällt dir auf?
- Was kann man daraus für den Flächeninhalt der blauen Teile folgern?
Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich so:
Fläche für Dreieck 1:
Fläche für Dreieck 2:
Folgerung:
- Die Dreiecke sind flächengleich
- In beiden Dreiecken tauchen das rote und das gelbe Dreieck auf
- Der blaue Flächeninhalt in beiden Dreiecken muss also die gleiche Fläche haben, da:
- und in beiden Dreiecken gleich
- Daraus folgt:
- Das heißt der Flächeninhalt der beiden blauen Teile muss gleich sein
Da kann man sagen:
Denn und
- In jedem beliebigen rechtwinkligen Dreieck gilt also:
- Das Quadrat über der Höhe ist flächengleich zum Rechteck aus den beiden Hypotenusenabschnitten
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