Abi 2012 Analysis I Teil B: Unterschied zwischen den Versionen

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Gegeben ist die Funktion <math> f:x \mapsto \frac{2e^{x}}{e^{x}+9} </math> mit Definitionsbereich IR. Abbildung 2 zeigt den Graphen G<sub>f</sub> von f.
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Das Wachstum von Sonnenblumen der Sorte Alba lässt sich modellhaft mithilfe der Funktion f beschreiben. Beginnt man die Beobachtung zwei Wochen nach der Auskeimung einer Sonnenblume dieser Sorte, so liefert f(x) für x∈[0;4] im Modell die Höhe der Blume in Metern. Dabei ist x die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Monaten. In den Aufgaben 2a bis 2d werden ausschließlich Sonnenblumen der Sorte Alba betrachtet.
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a) Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells, um wie viele Zentimeter eine Sonnenblume innerhalb der ersten zwei Monate nach Beobachtungsbeginn wächst.
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d) Ein Biologe nimmt an, dass sich das Wachstum der Blumen vor Beobachtungsbeginn näherungsweise durch die Gleichung der Tangente aus Aufgabe 1d beschreiben lässt. Untersuchen Sie mithilfe einer Rechnung, ob diese Annahme damit in Einklang steht, dass vom Zeitpunkt des Auskeimens bis zum Beobachtungsbeginn etwa zwei Wochen vergehen.
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Haben zu Beobachtungsbeginn Sonnenblumen der Sorte Tramonto die gleiche Höhe wie Sonnenblumen der Sorte Alba, so erreichen von da an die Sonnenblumen der Sorte Tramonto im Vergleich zu denen der Sorte Alba jede Höhe in der Hälfte der Zeit.
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Das Wachstum von Sonnenblumen der Sorte Tramonto lässt sich modellhaft mithilfe einer in IR definierten Funktion g beschreiben, die eine Funktionsgleichung der Form I, II oder III mit k∈ IR<sup>+</sup> besitzt:
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'''I''' <math> y= \frac{2e^{x+k}}{e^{x+k}+9} </math>          '''II''' <math> y= k \cdot \frac{2e^{x}}{e^{x}+9} </math>                    '''III''' <math> y=  \frac{2e^{kx}}{e^{kx}+9} </math>
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e) Begründen Sie, dass weder eine Gleichung der Form I noch eine der Form II als Funktionsgleichung von g infrage kommt.
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f) Die Funktionsgleichung von g hat also die Form III. Geben Sie den passenden Wert von k an.
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Aktuelle Version vom 4. April 2018, 12:08 Uhr


Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2012
Analysis I - Teil B


Download der Originalaufgaben - Lösung zum Ausdrucken



Gegeben ist die Funktion f:x \mapsto \frac{2e^{x}}{e^{x}+9} mit Definitionsbereich IR. Abbildung 2 zeigt den Graphen Gf von f.

Abitur 2012 Teil 2 Aufgabengruppe1.png
Aufgabe 1

a) Zeigen Sie rechnerisch, dass Gf genau einen Achsenschnittpunkt S besitzt und geben Sie die Koordinaten von S an.

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b) Begründen Sie mithilfe des Funktionsteams von f, dass \lim_{x\to- \infty} f(x)=0 und \lim_{x\to+ \infty} f(x)=2 gilt.

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c) Weisen Sie rechnerisch nach, dass Gf in IR streng monoton steigt.
(zur Kontrolle: f'(x) = \frac{18e^{x}}{(e^{x}+9)^{2}} )

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d) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an Gf im Achsenschnittpunkt S.
(Ergebnis: y= 0,18x+0,2)

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e) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die Gf mit den Koordinatenachsen und der Geraden x=4 einschließt.

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f) Begründen Sie, dass f in IR umkehrbar ist. Gebe Sie den Definitionsbereich und den Wertebereich der Umkehrfunktion f-1 an und zeichnen Sie den Graphen von f-1 in Abbildung 2 ein.

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Aufgabe 2

Das Wachstum von Sonnenblumen der Sorte Alba lässt sich modellhaft mithilfe der Funktion f beschreiben. Beginnt man die Beobachtung zwei Wochen nach der Auskeimung einer Sonnenblume dieser Sorte, so liefert f(x) für x∈[0;4] im Modell die Höhe der Blume in Metern. Dabei ist x die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Monaten. In den Aufgaben 2a bis 2d werden ausschließlich Sonnenblumen der Sorte Alba betrachtet.

a) Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells, um wie viele Zentimeter eine Sonnenblume innerhalb der ersten zwei Monate nach Beobachtungsbeginn wächst.

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b) Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells, wie viele Monate nach Beobachtungsbeginn eine Sonnenblume eine Höhe von 1,5 Metern erreicht. Beschreiben Sie, wie man den berechneten Wert graphisch überprüfen kann.

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c) Im Modell gibt es einen Zeitpunkt xM, zu dem die Blumen am schnellsten wachsen. Bestimmen Sie mithilfe von Abbildung 2 einen Näherungswert für xM. Ermitteln Sie anschließend einen Näherungswert für die maximale Wachstumsrate in Zentimetern pro Tag.

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d) Ein Biologe nimmt an, dass sich das Wachstum der Blumen vor Beobachtungsbeginn näherungsweise durch die Gleichung der Tangente aus Aufgabe 1d beschreiben lässt. Untersuchen Sie mithilfe einer Rechnung, ob diese Annahme damit in Einklang steht, dass vom Zeitpunkt des Auskeimens bis zum Beobachtungsbeginn etwa zwei Wochen vergehen.

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Haben zu Beobachtungsbeginn Sonnenblumen der Sorte Tramonto die gleiche Höhe wie Sonnenblumen der Sorte Alba, so erreichen von da an die Sonnenblumen der Sorte Tramonto im Vergleich zu denen der Sorte Alba jede Höhe in der Hälfte der Zeit. Das Wachstum von Sonnenblumen der Sorte Tramonto lässt sich modellhaft mithilfe einer in IR definierten Funktion g beschreiben, die eine Funktionsgleichung der Form I, II oder III mit k∈ IR+ besitzt:

I y= \frac{2e^{x+k}}{e^{x+k}+9} II y= k \cdot \frac{2e^{x}}{e^{x}+9} III y= \frac{2e^{kx}}{e^{kx}+9}

e) Begründen Sie, dass weder eine Gleichung der Form I noch eine der Form II als Funktionsgleichung von g infrage kommt.

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f) Die Funktionsgleichung von g hat also die Form III. Geben Sie den passenden Wert von k an.

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