Abi 2012 Analysis I Teil B: Unterschied zwischen den Versionen
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Gegeben ist die Funktion <math> f:x \mapsto \frac{2e^{x}}{e^{x}+9} </math> mit Definitionsbereich IR. Abbildung 2 zeigt den Graphen G<sub>f</sub> von f. | Gegeben ist die Funktion <math> f:x \mapsto \frac{2e^{x}}{e^{x}+9} </math> mit Definitionsbereich IR. Abbildung 2 zeigt den Graphen G<sub>f</sub> von f. | ||
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a) Zeigen Sie rechnerisch, dass G<sub>f</sub> genau einen Achsenschnittpunkt S besitzt und geben Sie die Koordinaten von S an. | a) Zeigen Sie rechnerisch, dass G<sub>f</sub> genau einen Achsenschnittpunkt S besitzt und geben Sie die Koordinaten von S an. | ||
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| + | Das Wachstum von Sonnenblumen der Sorte Alba lässt sich modellhaft mithilfe der Funktion f beschreiben. Beginnt man die Beobachtung zwei Wochen nach der Auskeimung einer Sonnenblume dieser Sorte, so liefert f(x) für x∈[0;4] im Modell die Höhe der Blume in Metern. Dabei ist x die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Monaten. In den Aufgaben 2a bis 2d werden ausschließlich Sonnenblumen der Sorte Alba betrachtet. | ||
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| + | a) Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells, um wie viele Zentimeter eine Sonnenblume innerhalb der ersten zwei Monate nach Beobachtungsbeginn wächst. | ||
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| + | b) Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells, wie viele Monate nach Beobachtungsbeginn eine Sonnenblume eine Höhe von 1,5 Metern erreicht. Beschreiben Sie, wie man den berechneten Wert graphisch überprüfen kann. | ||
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| + | c) Im Modell gibt es einen Zeitpunkt x<sub>M</sub>, zu dem die Blumen am schnellsten wachsen. Bestimmen Sie mithilfe von Abbildung 2 einen Näherungswert für x<sub>M</sub>. Ermitteln Sie anschließend einen Näherungswert für die maximale Wachstumsrate in Zentimetern pro Tag. | ||
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| + | d) Ein Biologe nimmt an, dass sich das Wachstum der Blumen vor Beobach- tungsbeginn näherungsweise durch die Gleichung der Tangente aus Auf- gabe 1d beschreiben lässt. Untersuchen Sie mithilfe einer Rechnung, ob diese Annahme damit in Einklang steht, dass vom Zeitpunkt des Auskei- mens bis zum Beobachtungsbeginn etwa zwei Wochen vergehen. | ||
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| + | Haben zu Beobachtungsbeginn Sonnenblumen der Sorte Tramonto die glei- che Höhe wie Sonnenblumen der Sorte Alba, so erreichen von da an die Sonnenblumen der Sorte Tramonto im Vergleich zu denen der Sorte Alba jede Höhe in der Hälfte der Zeit. | ||
| + | Das Wachstum von Sonnenblumen der Sorte Tramonto lässt sich modellhaft mithilfe einer in IR definierten Funktion g beschreiben, die eine Funktions- | ||
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| + | '''I''' <math> y= \frac{2e^{x+k}}{e^{x+k}+9} </math> | ||
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Version vom 20. Juli 2017, 18:57 Uhr
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a) Zeigen Sie rechnerisch, dass Gf genau einen Achsenschnittpunkt S besitzt und geben Sie die Koordinaten von S an.  b) Begründen Sie mithilfe des Funktionsteams von f, dass  c) Weisen Sie rechnerisch nach, dass Gf in IR streng monoton steigt.  d) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an Gfim Achsenschnittpunkt S. e) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die Gf mit den Koordinatenachsen und der Geraden x=4 einschließt. f) Begründen Sie, dass f in IR umkehrbar ist. Gebe Sie den Definitionsbereich und den Wertebereich der Umkehrfunktion f-1 an und zeichnen Sie den Graphen von f-1 in Abbildung 2 ein.
Das Wachstum von Sonnenblumen der Sorte Alba lässt sich modellhaft mithilfe der Funktion f beschreiben. Beginnt man die Beobachtung zwei Wochen nach der Auskeimung einer Sonnenblume dieser Sorte, so liefert f(x) für x∈[0;4] im Modell die Höhe der Blume in Metern. Dabei ist x die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Monaten. In den Aufgaben 2a bis 2d werden ausschließlich Sonnenblumen der Sorte Alba betrachtet. a) Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells, um wie viele Zentimeter eine Sonnenblume innerhalb der ersten zwei Monate nach Beobachtungsbeginn wächst. b) Berechnen Sie auf der Grundlage des Modells, wie viele Monate nach Beobachtungsbeginn eine Sonnenblume eine Höhe von 1,5 Metern erreicht. Beschreiben Sie, wie man den berechneten Wert graphisch überprüfen kann. c) Im Modell gibt es einen Zeitpunkt xM, zu dem die Blumen am schnellsten wachsen. Bestimmen Sie mithilfe von Abbildung 2 einen Näherungswert für xM. Ermitteln Sie anschließend einen Näherungswert für die maximale Wachstumsrate in Zentimetern pro Tag. d) Ein Biologe nimmt an, dass sich das Wachstum der Blumen vor Beobach- tungsbeginn näherungsweise durch die Gleichung der Tangente aus Auf- gabe 1d beschreiben lässt. Untersuchen Sie mithilfe einer Rechnung, ob diese Annahme damit in Einklang steht, dass vom Zeitpunkt des Auskei- mens bis zum Beobachtungsbeginn etwa zwei Wochen vergehen. Haben zu Beobachtungsbeginn Sonnenblumen der Sorte Tramonto die glei- che Höhe wie Sonnenblumen der Sorte Alba, so erreichen von da an die Sonnenblumen der Sorte Tramonto im Vergleich zu denen der Sorte Alba jede Höhe in der Hälfte der Zeit. Das Wachstum von Sonnenblumen der Sorte Tramonto lässt sich modellhaft mithilfe einer in IR definierten Funktion g beschreiben, die eine Funktions- gleichung der Form I, II oder III mit k∈ +IR besitzt: I |
mit Definitionsbereich IR. Abbildung 2 zeigt den Graphen Gf von f.
und 
gilt.
)
