2010 IV: Unterschied zwischen den Versionen

Zuerst müssen die Wahrscheinlichkeiten für die 4 Farben berechnet werden:

Da jeder 5. Stein gelb ist, finden sich unter 100 Steinen = 20 gelbe Steine.
Daraus folgt, dass die Wahrscheinlichkeit für einen gelben Stein P("gelb") = 0,2 ist.
Die Wahrscheinlichkeit für einen grünen Stein ist P("grün") = 0,08.
Aus es gibt dreimal so viele blaue wie grüne Steine in der Kiste folgt P("blau")= 3 0,08 = 0,24.
Die restlichen Steine sind rot also ergibt sich für P("rot")= 1 - 0,2 - 0,08 - 0,24 = 0,48.

Unter 1000 Steinen befinden sich 0,08 1000 = 80 grüne Steine.

Die Wahrscheinlichkeit, dass sich beim Ziehen von 10 Steinen unter den gezogenen kein grüner befindet, beträgt (Ziehen mit Zurücklegen):

Die Wahrscheinlichkeit, dass sich beim Ziehen von 10 Steinen unter den gezogenen kein grüner befindet, beträgt (Ziehen ohne Zurücklegen):


oder

Bei dieser Aufgabenstellung ist die Anzahl, also n gesucht.
Für "Ziehen mit Zurücklegen" ergibt sich:





;

;

;

;

Lars hat nur dann im Mittel keinen Verlust, wenn der Erwartungswert für die Auszahlung gleich 0 ist.

;

;

Die Bedingung der Brauchbarkeit findet sich in der Mathematikformelsammlung auf Seite 111 und lautet: n p (1 - p) > 9;
Durch das Einsetzen von n = 16 (Es befinden sich 16 Steine in der Kiste) und p (Die Wahrscheinlichkeit für einen gelben Stein ist 0,2) erhält man:
16 0,2 0,8 = 2,56; Da 2,56 < 9 ist, ist dieses Kriterium nicht erfüllt.

Nun soll gezeigt werden, dass es einen Wert für k gibt, bei dem die in den Diagrammen dargestellten Wahrscheinlichkeiten P(k) und P*(k) um mehr als 2 Prozentpunkte voneinander abweichen.

Man sieht, dass die Werte für k = 1, k = 2 und k = 4 am deutlichsten voneinander abweichen. Außerdem wird deutlich, dass für k = 2 die beiden Werte am deutlichsten abweichen. Dies soll rechnerisch nachgeprüft werden:

Zuerst müssen für die Normalverteilung folgende Werte berechnet werden:





Also folgt:


Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung (FS S.111):



Anmerkung: aus Symetriegründen gilt:
Die Werte für stammen aus dem Tafelwerk.

Für die Differenz folgt: P(2) – P*(2) = 0,21111 - 0,09622 = 0,02290 > 0,02.

n ist die aktuelle Anzahl der Steine in der Kiste.
N ist die Anzahl der Steine in der Kiste, nach dem Hinzufügen von x Steinen.
k ist die aktuelle Anzahl der gelben Steine in der Kiste.
K ist die Anzahl der gelben Steine, nach dem Hinzufügen von x Steinen.

Damit jeder 3. Stein gelb ist, muss das Verhältnis "Alle gelben Steine " zu "Alle Steine in der Kiste " dem Verältnis "1" zu "3" entsprechen.

;

Wenn x Steine hinzugefügt werden, ändert sich sowohl k als auch n.
K = k + x; und N = n + x;
Da aktuell jeder 5. Stein gelb ist, beträgt die Anzahl der gelben Steine in der Kiste 0,2 n.

Aus diesen Informatinen ergibt sich die Gleichung:

;

;

;

;

Für Typ A gilt: Jeder 5. Baustein ist gelb. Daraus folgt: p_A = .
Für Typ B: Jeder 3. Baustein ist gelb. Damit gilt: p_B = .
n = 25 ("Ziehen mit Zurücklegen da Anzahl der Steine hinreichend groß ist")

Realität	Annahmebereich	Fehlerwahrscheinlichkeit
pA =	A1 {0,...,k}
pB =	A2 {k+1,...,25}

Die Fehlerwahrscheinlichkeiten sollen möglichst nahe beieinander liegen:





Im Tafelwerk kann man nun den Wert für k finden.

k = 5: 0,61669 + 0,11195 = 0,72864
k = 6: 0,78004 + 0,22154 = 1,00158
k = 7: 0,89088 + 0,37026 = 1,26114

Man sieht, dass für k = 6 die beiden Fehlerwahrscheinlichkeiten am nähesten beieinander liegen. Deshalb folgt die Entscheidungsregel: Man entscheidet sich bei höchstens 6 gelben Steinen für p_A.

Realität Annahmebereich Fehlerwahrscheinlichkeit pA = A1 {0,...,6} pB = A2 {7,...,25}

Die Fehlerwahrscheinlichkeiten lauten also:

Antwort: Wenn man die die Wahrscheinlichkeit, sich fälschlicherweise für Typ A zu entscheiden, verringern will, so muss der Annahmebereich A₁ kleiner werden. Also k < 6.

So folgt z.B. für k = 4:

Realität	Annahmebereich	Fehlerwahrscheinlichkeit
pA =	A1 {0,...,4}
pB =	A2 {5,...,25}

Der Turm schaut wie folgt aus (liegend dargestellt):



Da weder der 1. noch der letzte Stein rot sein soll, haben die roten Steine nur in der Mitte Platz:



3 Steine verteilt auf 8 Plätze ergeeben: Möglichkeiten.

Nun bleiben für die blauen Steine noch 10-3 = 7 Plätze

Man verteilt also die 4 auf die restlichen 7 Plätze was Möchlichkeiten ergibt.

Nun bleiben nurnoch 3 Plätze für gelb übrig:

Da die Steine nicht unterscheidbar sind gibt es nur eine Möglichkeit.

Es gibt also insgesamt: Möglichkeiten.

Wenn man zuerst die gelben und dann die blauen Steine verteilt erhält man Alternativ:

Da in jeder waagrechten Reihe ein blauer Stein sitzen soll schauen die Verteilungsmöglichkeiten für blaue Steine wie folgt aus:

Nun bleiben noch 6 Plätze für die gelben Steine übrig:
Es werden 3 gelbe Steine auf 6 freie Plätze verteilt, was Möglichkeiten ergibt.

Da nun für die 3 roten Steine 3 Plätze übrig bleiben, hat man nur eine Möglichkeit sie zu verteilen.
(Selbstverständlich kann man auch zuerst die 3 roten Steine auf die 6 freien Plätze und anschließend die gelben Steine verteilen.)

Antwort: Es ergeben sich also 24 20 = 480 verschieden Farbmuster für die "Treppe", wenn in jeder waagrechten Reihe ein blauer Stein sitzt.