2010 IV: Unterschied zwischen den Versionen
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sich irrtümlich für einen falschen Typ zu entscheiden, | sich irrtümlich für einen falschen Typ zu entscheiden, | ||
möglichst nahe beieinander liegen. Wie groß sind in diesem Fall die | möglichst nahe beieinander liegen. Wie groß sind in diesem Fall die | ||
− | beiden Irrtumswahrscheinlichkeiten? | + | beiden Irrtumswahrscheinlichkeiten? |
:{{Lösung versteckt|1= | :{{Lösung versteckt|1= | ||
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Für Typ A gilt: jeder 5. Baustein ist gelb. Daraus folgt: p<sub>A</sub> = <math> \textstyle \frac {1}{5}</math>.<br> | Für Typ A gilt: jeder 5. Baustein ist gelb. Daraus folgt: p<sub>A</sub> = <math> \textstyle \frac {1}{5}</math>.<br> | ||
Für Typ B: jeder 3. Baustein ist gelb. Damit gilt: p<sub>B</sub> = <math> \textstyle \frac {1}{3} </math>.<br> | Für Typ B: jeder 3. Baustein ist gelb. Damit gilt: p<sub>B</sub> = <math> \textstyle \frac {1}{3} </math>.<br> | ||
n = 25 ("Ziehen mit Zurücklegen da Anzahl der Steine hinreichend groß ist")<br><br> | n = 25 ("Ziehen mit Zurücklegen da Anzahl der Steine hinreichend groß ist")<br><br> | ||
− | + | <table border="1" cellpadding="5" rules="all" style="text-align:center; color:black;margin:auto;font-size:12px; border:1px solid balck;"> | |
− | + | <tr> | |
− | + | <td width="33%">Realität </td> | |
− | + | <td width="33%">Annahmebereich</td> | |
− | + | <td width="33%">Fehlerwahrscheinlichkeit</td> | |
− | + | </tr> | |
− | + | <tr> | |
− | + | <td> p<sub>A</sub> = <math> \textstyle \frac {1}{5}</math></td> | |
+ | <td>A<sub>1</sub> {0,...,k}</td> | ||
+ | <td> <math> P_{\frac {1}{5}}^{25} (x \ge k+1) </math></td> | ||
+ | </tr> | ||
+ | <tr> | ||
+ | <td>p<sub>B</sub> = <math> \textstyle \frac {1}{3}</math></td> | ||
+ | <td>A<sub>2</sub> {k+1,...,25}</td> | ||
+ | <td><math> P_{\frac {1}{3}}^{25} (x \le k) </math></td> | ||
+ | </tr> | ||
+ | |||
+ | </table> | ||
<br><br>Die Fehlerwahrscheinlichkeiten sollen möglichst nahe beieinander liegen: <math> P_{\frac {1}{5}}^{25} (x \ge k+1) \approx P_{\frac {1}{3}}^{25} (x \le k)</math><br><br> | <br><br>Die Fehlerwahrscheinlichkeiten sollen möglichst nahe beieinander liegen: <math> P_{\frac {1}{5}}^{25} (x \ge k+1) \approx P_{\frac {1}{3}}^{25} (x \le k)</math><br><br> | ||
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Man sieht, dass für k = 6 die beiden Fehlerwahrscheinlichkeiten am nähesten beieinander liegen. Deshalb folgt die Entscheidungsregel: Man entscheidet sich bei höchstens 6 gelben Steinen für p<sub>A</sub>.<br><br> | Man sieht, dass für k = 6 die beiden Fehlerwahrscheinlichkeiten am nähesten beieinander liegen. Deshalb folgt die Entscheidungsregel: Man entscheidet sich bei höchstens 6 gelben Steinen für p<sub>A</sub>.<br><br> | ||
− | + | <table border="0" cellpadding="5" style="text-align:center; color:black;margin:auto;font-size:12px; border:1px solid balck;"> | |
− | + | <tr> | |
− | + | <td> | |
− | + | <table border="1" cellpadding="5" rules="all" style="text-align:center; color:black;margin:auto;font-size:12px; border:1px solid balck;"> | |
− | + | <tr> | |
− | + | <td width="33%">Realität</td> | |
− | + | <td width="33%">Annahmebereich</td> | |
− | + | <td width="33%">Fehlerwahrscheinlichkeit</td> | |
+ | </tr> | ||
+ | <tr> | ||
+ | <td>p<sub>A</sub> = <math> \textstyle \frac {1}{5}</math></td> | ||
+ | <td>A<sub>1</sub> {0,...,6}</td> | ||
+ | <td><math> P_{\frac {1}{5}}^{25} (x \ge 7) </math></td> | ||
+ | </tr> | ||
+ | <tr> | ||
+ | <td>p<sub>B</sub> = <math> \textstyle \frac {1}{3}</math></td> | ||
+ | <td>A<sub>2</sub> {7,...,25}</td> | ||
+ | <td> <math> P_{\frac {1}{3}}^{25} (x \le 6) </math></td> | ||
+ | </tr> | ||
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+ | </table> | ||
+ | </td> | ||
+ | </tr> | ||
+ | </table> | ||
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Die Fehlerwahrscheinlichkeiten lauten also: <br><br> | Die Fehlerwahrscheinlichkeiten lauten also: <br><br> | ||
<math> P_{\frac {1}{5}}^{25} (x \ge 7) = 1 - P_{\frac {1}{5}}^{25} (x \le 6) = 1 - 0{,}78004 = 0,21996 </math><br> | <math> P_{\frac {1}{5}}^{25} (x \ge 7) = 1 - P_{\frac {1}{5}}^{25} (x \le 6) = 1 - 0{,}78004 = 0,21996 </math><br> | ||
<math> P_{\frac {1}{3}}^{25} (x \le 6) = 0,22154 </math> | <math> P_{\frac {1}{3}}^{25} (x \le 6) = 0,22154 </math> | ||
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b) Wie muss die Entscheidungsregel aus Teilaufgabe 2a bei gleichbleibendem | b) Wie muss die Entscheidungsregel aus Teilaufgabe 2a bei gleichbleibendem |
Version vom 12. Februar 2011, 14:17 Uhr
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Es gibt zwei Typen A und B von Jumbo-Verkaufspackungen, die jeweils
gut gemischt Tausende von Bausteinen enthalten; diese unterscheiden sich
nur in ihrer Farbe. Bei Typ A ist jeder fünfte, bei Typ B jeder dritte Baustein
gelb. a) Geben Sie die Entscheidungsregel an, bei der die beiden Wahrscheinlichkeiten, sich irrtümlich für einen falschen Typ zu entscheiden, möglichst nahe beieinander liegen. Wie groß sind in diesem Fall die beiden Irrtumswahrscheinlichkeiten? b) Wie muss die Entscheidungsregel aus Teilaufgabe 2a bei gleichbleibendem Stichprobenumfang geändert werden, wenn man die Wahrscheinlichkeit, sich irrtümlich für Typ A zu entscheiden, verringern will? Nennen Sie eine Konsequenz, die diese Änderung hinsichtlich einer Entscheidung für Typ B hat. |
Lars’ kleine Schwester spielt mit 3 roten, 4 blauen und 3 gelben würfelförmigen
Bausteinen, die sich nur in ihrer Farbe unterscheiden. a) Sie baut einen Turm, indem sie alle Steine aufeinandersetzt. Wie viele
verschiedene Farbmuster sind bei diesem Turm möglich, wenn weder
der oberste noch der unterste Stein rot sein sollen? b) Nun baut sie aus den 10 Steinen eine „Treppe“ (siehe Abbildung). Wie viele verschiedene Farbmuster sind für die aus 10 Quadraten bestehende Stirnseite der „Treppe“ möglich, wenn in jeder waagrechten Reihe ein blauer Stein sitzen soll? |