Integralberechnung: Unterschied zwischen den Versionen

Aus RMG-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
(Die Seite wurde neu angelegt: ===Aufgabe: Flächenberechnung einer Funktion=== '''''<span style="color: darkorange">Ermittle für a = 3, wie viel Liter Wasser in den ersten sechs Monaten durch den F...)
 
 
(9 dazwischenliegende Versionen von 2 Benutzern werden nicht angezeigt)
Zeile 1: Zeile 1:
−
===Aufgabe: Flächenberechnung einer Funktion===
+
===Berechnung des Wasservolumens in den ersten sechs Monaten===
−
'''''<span style="color: darkorange">Ermittle für a = 3, wie viel Liter Wasser in den ersten sechs Monaten durch den Fluss fließen.</span>
+
'''''<span style="color: darkorange">Ermittle für a = 3 wie viel Liter Wasser in den ersten sechs Monaten durch den Fluss fließen.</span>
  
 
{|
 
{|
 
|width=400px|
 
|width=400px|
−
:''Um Auszurechnen, wieviel Kubikliter Wasser durch den Fluss fließen, errechnet man die Fläche unter der Funktion''.
+
:''Um Auszurechnen, wie viel Kubikliter Wasser durch den Fluss fließen, errechnet man die Fläche unter der Funktion''.
  
  
Zeile 15: Zeile 15:
 
{|width=90%| style="background-color:#F5F5F5; border: 1px solid #63B8FF; padding:0.5em"
 
{|width=90%| style="background-color:#F5F5F5; border: 1px solid #63B8FF; padding:0.5em"
 
| valign="top" |
 
| valign="top" |
−
:Die allgemeine Integrationsregel: <math>\int_{a}^{b} x^n \,dx = \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} \right]_{a}^{b}</math>
+
:Die allgemeine Integrationsregel: <math>\int_{a}^{b} x^n \,dx = \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} \right]_{a}^{b}</math> <ref>''Barth, Friedrich / Mühlbauer, Paul / Nikol, Friedrich / Wörle Karl,'' Mathematische Formeln und Definitionen, München <math>2004^8</math>, S.66</ref>
 
|}
 
|}
  
−
:a ist die untere Grenze, b die obere. Die Funktion wird im Intervall [ a; b ] integriert.
+
:<small>a ist die untere Grenze, b die obere. Die Funktion wird im Intervall [ a; b ] integriert.</small>
 +
::<u>'''<span style="color: red">Merke:</span>'''</u>
 +
::Das bestimmte Integral einer Funktion <math>f (x)</math> im Intervall[] <math>\left [ a , b \right ]</math> ist aber nicht immer definiert, sondern nur dann, wenn die Funktion im Intervall <math>\left [ a , b \right ]</math>stetig ist. Die Funktion darf also keine Sprünge haben.<ref>[http://www.mathematik.net/Integ-1/ia2s9.htm Integrierbarkeit einer Funktion]</ref>
  
 
|width=5px|
 
|width=5px|
 
|valign="top" |
 
|valign="top" |
−
<ggb_applet width="369" height="458"  version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" />
+
<ggb_applet width="369" height="458"  version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "true" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" />
 
|}
 
|}
  
Zeile 28: Zeile 30:
  
 
::{{Lösung versteckt|1=
 
::{{Lösung versteckt|1=
−
::<math>\int_{x}^{y} f (t)\,dt  =  \frac{1}{16}t^4 - \frac{a*t^3}{3} +  \frac{a^2*t^2}{2} + c</math>
+
::<math>\int f (t)\,dt  =  \frac{1}{16}t^4 - \frac{a \cdot t^3}{3} +  \frac{a^2 \cdot t^2}{2} + c = F (t)</math>
  
 
::Die obere Grenze ist: 6 <small> ''Nach den ersten sechs Monaten''</smalL>
 
::Die obere Grenze ist: 6 <small> ''Nach den ersten sechs Monaten''</smalL>
Zeile 34: Zeile 36:
 
::Die untere Grenze ist: 0
 
::Die untere Grenze ist: 0
  
−
::<math>\int_{0}^{6} f (t)\,dt  = </math> <math>\left[  \frac{1}{16}t^4 - \frac{3*t^3}{3} +  \frac{3^2*t^2}{2}\right ]_{0}^{6} = 27 - 0 = 27</math>
+
::<math>\int_{0}^{6} f (t)\,dt  = </math> <math>\left[  \frac{1}{16}t^4 - \frac{3 \cdot t^3}{3} +  \frac{3^2 \cdot t^2}{2}\right ]_{0}^{6} = 27 - 0 = 27</math>
  
−
::<u>Für a = 3 fließen in den ersten sechs Monaten 27*10<sup>9</sup> Liter Wasser durch den Fluss.</u> (<small> 27*10<sup>6</sup> m<sup>3</sup> = 27*10<sup>9</sup> Liter</small>)
+
::<u>Für a = 3 fließen in den ersten sechs Monaten 27 <math>\cdot </math> 10<sup>9</sup> Liter Wasser durch den Fluss.</u> (<small> 27 <math>\cdot</math> 10<sup>6</sup> m<sup>3</sup> = 27 <math>\cdot</math> 10<sup>9</sup> Liter</small>)
−
 
+
−
::<u>'''<span style="color: red">Merke:</span>'''</u> Die Funktion muss im Intervall stetig und differenzierbar sein ! Ist dies nicht erfüllt, ist eine Integration nicht möglich.
+
 
}}
 
}}
  
−
[[Facharbeit Neutert/Flächengleichheit|Flächengleichheit zweier verschiedener Funktionen]]
+
 
 +
::Falls du mit der Integration noch Schwierigkeiten haben solltest, gibt es [http://de.sevenload.com/sendungen/Nachhilfe-2-0/folgen/s8j162f-Flaeche-berechnen-Grenzen-gegeben-Integralrechnung hier] einen nützlichen Link.
 +
 
 +
 
 +
[[LK Mathematik Abitur NRW 2007/Flächengleichheit|Hier geht's zur Aufgabe: Volumengleicheit zweier verschiedener Funktionen bis zum Zeitpunkt t<sub>0</sub>]],
 +
 
 +
[[LK Mathematik Abitur NRW 2007|Hier geht's zurück zur Übersicht]]
 +
 
 +
==Quellen==
 +
<references/>

Aktuelle Version vom 6. Februar 2011, 15:55 Uhr

Berechnung des Wasservolumens in den ersten sechs Monaten

Ermittle für a = 3 wie viel Liter Wasser in den ersten sechs Monaten durch den Fluss fließen.

Um Auszurechnen, wie viel Kubikliter Wasser durch den Fluss fließen, errechnet man die Fläche unter der Funktion.


Einfache, bereits bekannte Flächenberechnungen gibt es bei linearen Funktionen. Um hier die Fläche auszurechnen, die der Graph mit der x - Achse einschließt, nimmt man einfach die gebräuchlichen Flächenformeln, wie die Rechtecksformel oder die Dreiecksformel.
Hier siehst du ein Beispiel dazu.


Bei Funktionen mit höcheren Potenzen benötigt man die Hilfe der Integralrechnung.
Es muss gelten: F' (t) = f (t)
Die allgemeine Integrationsregel: \int_{a}^{b} x^n \,dx = \left[ \frac{x^{n+1}}{n+1} \right]_{a}^{b} [1]
a ist die untere Grenze, b die obere. Die Funktion wird im Intervall [ a; b ] integriert.
Merke:
Das bestimmte Integral einer Funktion f (x) im Intervall[] \left [ a , b \right ] ist aber nicht immer definiert, sondern nur dann, wenn die Funktion im Intervall \left [ a , b \right ]stetig ist. Die Funktion darf also keine Sprünge haben.[2]

Gebe die Funktion F (t) an und errechne mit ihr für a = 3, wieviel Liter in den ersten sechs Monaten durch den Fluss geflossen sind.
\int f (t)\,dt = \frac{1}{16}t^4 - \frac{a \cdot t^3}{3} + \frac{a^2 \cdot t^2}{2} + c = F (t)
Die obere Grenze ist: 6 Nach den ersten sechs Monaten
Die untere Grenze ist: 0
\int_{0}^{6} f (t)\,dt = \left[ \frac{1}{16}t^4 - \frac{3 \cdot t^3}{3} + \frac{3^2 \cdot t^2}{2}\right ]_{0}^{6} = 27 - 0 = 27
Für a = 3 fließen in den ersten sechs Monaten 27 \cdot 109 Liter Wasser durch den Fluss. ( 27 \cdot 106 m3 = 27 \cdot 109 Liter)


Falls du mit der Integration noch Schwierigkeiten haben solltest, gibt es hier einen nützlichen Link.


Hier geht's zur Aufgabe: Volumengleicheit zweier verschiedener Funktionen bis zum Zeitpunkt t0,

Hier geht's zurück zur Übersicht

Quellen

  1. ↑ Barth, Friedrich / Mühlbauer, Paul / Nikol, Friedrich / Wörle Karl, Mathematische Formeln und Definitionen, München 2004^8, S.66
  2. ↑ Integrierbarkeit einer Funktion
Von „http://rmg.zum.de/index.php?title=LK_Mathematik_Abitur_NRW_2007/Integralberechnung&oldid=40600“