2007 VI: Unterschied zwischen den Versionen
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</td></tr></table></center> | </td></tr></table></center> | ||
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+ | <div style="padding:1px;background: #EEEEE6;border:0px groove;"> | ||
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+ | <center><table border="0" width="800px" cellpadding=5 cellspacing=15> | ||
+ | <tr><td width="800px" valign="top"> | ||
+ | In einem kartesischen Koordinatensystem des IR<sup>3</sup> ist die Ebenenschar E<sub>t</sub> : <math>\vec x = \begin{pmatrix} 0 \\ t \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} + \tau\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math> mit λ, τ є IR und t є IR gegeben. </td></tr></table></center> | ||
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<div style="padding:1px;background: #EEEEE6;border:0px groove;"> | <div style="padding:1px;background: #EEEEE6;border:0px groove;"> | ||
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;Aufgabe 1 | ;Aufgabe 1 | ||
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+ | a) Bestimmen Sie eine Gleichung von E<sub>t</sub> in Normalenform. Begründen Sie, dass alle Ebenen der Schar zueinander parallel sind. | ||
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+ | [mögliches Teilergebnis: E<sub>t</sub> : 2x<sub>1</sub> + x<sub>2</sub> - 2x<sub>3</sub> - t = 0] | ||
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+ | :{{Lösung versteckt| | ||
+ | [[Bild:1 a1 -.jpg|800px]] | ||
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+ | b) Berechnen Sie den Winkel φ, unter dem jede Ebene der Schar E<sub>t</sub> die x<sub>1</sub>x<sub>2</sub>-Ebene schneidet, auf eine Dezimale gerundet. | ||
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+ | :{{Lösung versteckt| | ||
+ | [[Bild:1 b --.jpg|800px]] | ||
+ | }} | ||
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+ | c) Die Ebene L enthält die x<sub>2</sub>-Achse und ist Lotebene zur Ebene E<sub>t</sub>. Ermitteln Sie eine Gleichung von L in Normalenform und geben Sie eine Gleichung der Schnittgeraden s<sub>t</sub> von L und E<sub>t</sub> in Parameterform an. | ||
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+ | [mögliches Teilergebnis: L: x<sub>1</sub> + x<sub>3</sub> = 0] | ||
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+ | :{{Lösung versteckt| | ||
+ | [[Bild:1 c.jpg|800px]] | ||
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;Aufgabe 2 | ;Aufgabe 2 | ||
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+ | Die Ebene E<sub>t</sub> schneidet die x<sub>1</sub>-Achse im Punkt A<sub>t</sub>, die x<sub>2</sub>-Achse im Punkt B<sub>t</sub> und die x<sub>3</sub>-Achse im Punkt C<sub>t</sub>. Diese Punkte und der Ursprung O sind für t ≠ 0 die Ecken einer Pyramide II<sub>t</sub>. | ||
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+ | a) Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte A<sub>t</sub>, B<sub>t</sub> und C<sub>t</sub> und zeichnen Sie in einem Koordinatensystem für t = -8 die Pyramide II<sub>-8</sub> ein. | ||
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+ | [Teilergebnis: A<sub>t</sub> (0,5t|0|0); B<sub>t</sub> (0|t|0); C<sub>t</sub> (0|0|-0,5t)] | ||
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+ | :{{Lösung versteckt| | ||
+ | [[Bild:2 a1.jpg|800px]] | ||
+ | ; Andere Lösung | ||
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+ | Man hätte die Achsengeraden aufstellen können, mit dem Ursprung als Aufpunkt | ||
+ | und dem jeweiligen Richtungsvektor und dann den jeweiligen allg. Geradenpunkt | ||
+ | in die Ebene einsetzen können. | ||
+ | [[Bild:2 a2.jpg|800px]] | ||
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+ | }} | ||
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+ | b) Zeigen Sie, dass die Pyramide II<sub>t</sub> den Oberflächeninhalt t<sup>2</sup> besitzt, und ermitteln Sie das Volumen V<sub>t</sub> von II<sub>t</sub> in Abhängigkeit von t. | ||
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+ | :{{Lösung versteckt| | ||
+ | [[Bild:2 b1.jpg|800px]] | ||
+ | [[Bild:2 b2.jpg|800px]] | ||
+ | [[Bild:2 b3.jpg|800px]] | ||
+ | }} | ||
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+ | c) Die Ebene F : 2x<sub>2</sub> = t liegt parallel zu einer Seitenfläche und zerlegt II<sub>t</sub> in zwei Teilkörper. Berechnen Sie das Verhältnis der Volumina. | ||
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+ | :{{Lösung versteckt| | ||
+ | ;Hinweis: | ||
+ | ''Es gibt eine weitere Lösung, die den Strahlensatz verwendet (Verhältnis der beiden Höhen und der anderen Kanten ist 1:2'') | ||
+ | [[Bild:2 c1.jpg|800px]] | ||
+ | [[Bild:2 c2.jpg|800px]] | ||
+ | ;Bemerkung: | ||
+ | <math>A^\prime (\frac{t}{4}/\mathbf{\frac{t}{2}}/0)</math> und <math>C^\prime (0/\mathbf{\frac{t}{2}}/-\frac{t}{4})</math> | ||
+ | }} | ||
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+ | d) Zeigen Sie, dass die Kugel K mit dem Mittelpunkt N<sub>t</sub> (<math>\frac{t}{8}</math> |<math>\frac{t}{8}</math> |<math>\frac{-t}{8}</math> ) und dem Radius ρ<sub>t</sub> = <math>\frac{|t|}{8}</math> die Inkugel der Pyramide II<sub>t</sub> ist, also alle Begrenzungsflächen von II<sub>t</sub> von innen berührt. | ||
+ | |||
+ | :{{Lösung versteckt| | ||
+ | [[Bild:2 d1.jpg|800px]] | ||
+ | [[Bild:2 d2.jpg|800px]] | ||
+ | [[Bild:2 d3.jpg|800px]] | ||
+ | [[Bild:2 d4.jpg|800px]] | ||
+ | }} | ||
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+ | |||
+ | e) Die Ecken der Pyramide II<sub>t</sub> liegen auf einer Kugel (Umkugel) mit dem Mittelpunkt M (m<sub>1</sub>|m<sub>2</sub>|m<sub>3</sub>) und dem Radius r. | ||
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+ | Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass gilt: m<sub>2</sub> = <math>\frac{t}{2}</math>. | ||
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+ | Geben Sie m<sub>1</sub> sowie m<sub>3</sub> an und berechnen Sie r. | ||
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+ | :{{Lösung versteckt| | ||
+ | [[Bild:2 e.jpg|800px]] | ||
+ | }} | ||
</td></tr></table></center> | </td></tr></table></center> |
Aktuelle Version vom 15. Mai 2010, 10:42 Uhr
Lösungen erstellt von: Johanna Buchner, Isabell Geist und Ann Christin Werner |
In einem kartesischen Koordinatensystem des IR3 ist die Ebenenschar Et : ![]() |
a) Bestimmen Sie eine Gleichung von Et in Normalenform. Begründen Sie, dass alle Ebenen der Schar zueinander parallel sind. [mögliches Teilergebnis: Et : 2x1 + x2 - 2x3 - t = 0]
[mögliches Teilergebnis: L: x1 + x3 = 0] |