2003 II: Unterschied zwischen den Versionen

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Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2006 Infinitesimalrechnung II

Download der Originalaufgaben: Abitur 2003 LK Mathematik Bayern - Lösung gesamt

Erarbeitet von Straßheimer Florian, Etzel Andre

Aufgabe 1

Gegeben ist die Schar der in IR definierten Funktionen $f_k(x)=\frac{1}{2}\cdot(k-x)\cdot \sqrt{e^{x}}$ mit $k \in \mathbb R$ . Der jeweilige Graph von $f_k\,$ wird mit $G_k\,$ bezeichnet.

a) Geben Sie $f_k(0)\,$ sowie die Nullstelle von $f_k\,$ an. Untersuchen Sie das Verhalten von $f_k\,$ für $x\rightarrow -\infty$ und für $x\rightarrow +\infty$

b) Zeigen Sie, dass $f^{'}_k(x)= \frac{1}{2}f_{k-2}(x)$ gilt, und ermitteln Sie hiermit Funktionsterme der Ableitungen $f^{''}_k\,$ und $f^{'''}_k\,$ sowie einer Stammfunktion von $f_k\,$ .

c) Zeigen Sie, dass $G_k\,$ genau einen Hochpunkt und genau einen Wendepunkt besitzt, und bestimmen Sie die Koordinaten dieser Punkte.

d) Zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse $G_4\,$ und $G_6\,$ in ein gemeinsames Koordinatensystem ein.

e) $G_4\,$ schließt im zweiten Quadranten mit den Koordinatenachsen ein sich ins Unendliche erstreckendes Flächenstück ein. Begründen Sie, dass dieses einen endlichen Inhalt hat.

f) Geben Sie an, welche Bedeutung die Funktion $2 \cdot f_6\,$ für die Funktion $f_4\,$ hat. Bestimmen Sie mit Hilfe von $G_6\,$ aus Ihrer Zeichnung die positive Zahl z (auf eine Dezimale genau), für die $\int_{0}^{z} f_4 (x)\,dx =0$ ist. Tragen Sie dazu entsprechende Hilfslinien in die Zeichnung ein und erläutern Sie Ihr Vorgehen. Überprüfen Sie Ihre graphisch gewonnene Näherungslösung, indem Sie z mit Hilfe des Taschenrechners auf eine Dezimale genau ermitteln.

Aufgabe 2

Das abgebildete Zelt

- geometrisch betrachtet

ein gerades Prisma - hat einen rechteckigen Grundriss mit den Seitenlängen $\frac{3}{2}a$ und $b\,$ . Die Front besteht aus einem Rechteck mit den Seitenlängen $\frac{3}{2}a$ und $a\,$ sowie einem aufgesetzten gleichschenkligen Dreieck der Höhe $a\,$ .

a) Zeigen Sie, dass für den Rauminhalt V des Zelts und für den Flächeninhalt S der benötigten Zeltplane (ohne Boden und Laschen, das Zelt ist vollständig geschlossen) gilt:

$V=\frac{9}{4}a^{2}b$

$S=\frac{9}{2}a^{2}+ \frac{9}{2}ab$ .

b) Bestimmen Sie a und b so, dass $V = 121,5 m^{3}\,$ ist und dass der Materialverbrauch an Zeltplane möglichst gering ist. Wie viele $m^{2}\,$ Zeltplane werden in diesem Fall benötigt?

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-<center>[http://www.isb.bayern.de/isb/download.aspx?DownloadFileID=56690cea22e20298b306940dfaa656c6 '''Download der Originalaufgaben: Abitur 2003 LK Mathematik Bayern''']  -  [[Media:|Lösung gesamt]]</center>
+<center>[http://www.isb.bayern.de/isb/download.aspx?DownloadFileID=56690cea22e20298b306940dfaa656c6 '''Download der Originalaufgaben: Abitur 2003 LK Mathematik Bayern''']  -  [[Media:Andre Etzel_Abi_03_II_Lösungen1.doc|Lösung gesamt]]</center>
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 Gegeben ist die Schar der in IR definierten Funktionen
-<math>f_k(x)=\frac{1}{2}\cdot(k-x)\cdot \sqrt{e^{x}}</math> mit <math>k \in \mathbb R</math> . Der jeweilige Graph von <math>f_k\</math>, wird mit
+<math>f_k(x)=\frac{1}{2}\cdot(k-x)\cdot \sqrt{e^{x}}</math> mit <math>k \in \mathbb R</math> . Der jeweilige Graph von <math>f_k\,</math> wird mit
 <math>G_k\,</math> bezeichnet.<br />
 a) Geben Sie <math>f_k(0)\,</math> sowie die Nullstelle von <math>f_k\,</math> an.
-Untersuchen Sie das Verhalten von <math> f_k\,</math> für <math>x\rightarrow -\infty</math>   und für <math>x\rightarrow +\infty</math>  br />
+Untersuchen Sie das Verhalten von <math> f_k\,</math> für <math>x\rightarrow -\infty</math>   und für <math>x\rightarrow +\infty</math>
 :{{Lösung versteckt|
+[[Bild:Andre Etzel_Abi_03_II_1a.jpg|500px]]
 }}
-b) Zeigen Sie, dass f (x) 2 fk 2(x)
+b) Zeigen Sie, dass <math>f^{'}_k(x)= \frac{1}{2}f_{k-2}(x)</math>
+gilt, und ermitteln Sie hiermit
-k′ =k′ = − gilt, und ermitteln Sie hiermit
+Funktionsterme der Ableitungen <math>f^{''}_k\,</math> und <math>f^{'''}_k\,</math> sowie einer Stammfunktion
-Funktionsterme der Ableitungen fk′′ und fk′′′ sowie einer Stammfunktion
+von <math>f_k\,</math> .
-von fk .
 :{{Lösung versteckt|
+[[Bild:Andre Etzel_Abi_03_II_1b.jpg|500px]]
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-c) Zeigen Sie, dass Gk genau einen Hochpunkt und genau einen Wendepunkt
+c) Zeigen Sie, dass <math>G_k\,</math> genau einen Hochpunkt und genau einen Wendepunkt
 besitzt, und bestimmen Sie die Koordinaten dieser Punkte.
 :{{Lösung versteckt|
+[[Bild:Andre Etzel_Abi_03_II_1c.jpg|500px]]
 }}
-d) Zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse G4
+d) Zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse <math>G_4\,</math>
-und G6 in ein gemeinsames Koordinatensystem ein.
+und <math>G_6\,</math> in ein gemeinsames Koordinatensystem ein.
 :{{Lösung versteckt|
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-e) G4 schließt im zweiten Quadranten mit den Koordinatenachsen ein
+e) <math>G_4\,</math> schließt im zweiten Quadranten mit den Koordinatenachsen ein
 sich ins Unendliche erstreckendes Flächenstück ein. Begründen Sie,
 dass dieses einen endlichen Inhalt hat.
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 :{{Lösung versteckt|
+[[Bild:Andre Etzel_Abi_03_II_1e.jpg|500px]]
 }}
-f) Geben Sie an, welche Bedeutung die Funktion 2 ⋅ f6 für die Funktion
+f) Geben Sie an, welche Bedeutung die Funktion <math>2 \cdot f_6\,</math> für die Funktion
-f4 hat. Bestimmen Sie mit Hilfe von G6 aus Ihrer Zeichnung die positive
+<math>f_4\,</math> hat. Bestimmen Sie mit Hilfe von <math>G_6\,</math> aus Ihrer Zeichnung die positive
-Zahl z (auf eine Dezimale genau), für die f (x)dx 0
+Zahl z (auf eine Dezimale genau), für die <math>\int_{0}^{z} f_4 (x)\,dx =0</math>
-z
+ist.
-∫ 4 = ist.
 Tragen Sie dazu entsprechende Hilfslinien in die Zeichnung ein und
 erläutern Sie Ihr Vorgehen.
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 :{{Lösung versteckt|
+[[Bild:Andre Etzel_Abi_03_II_1f.jpg|500px]]
 }}
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 '''Aufgabe 2'''<br />
-Das abgebildete Zelt - geometrisch betrachtet
+Das abgebildete Zelt [[Bild:Straßheimer_Florian_Graph_abiaufgabe_03.jpg‎ |250px| right]] - geometrisch betrachtet
 ein gerades Prisma - hat einen rechteckigen
-Grundriss mit den Seitenlängen a 2
+Grundriss mit den Seitenlängen <math>\frac{3}{2}a</math>
-und
+und <math>b\,</math>
-b. Die Front besteht aus einem Rechteck mit
+. Die Front besteht aus einem Rechteck mit
-den Seitenlängen a 2
+den Seitenlängen <math>\frac{3}{2}a</math> und <math>a\,</math> sowie einem
-und a sowie einem
 aufgesetzten gleichschenkligen Dreieck der
-Höhe a.
+Höhe <math>a\,</math>.
+<br />
+<br />
+<br />
 a) Zeigen Sie, dass für den Rauminhalt V des Zelts und für den Flächeninhalt
 S der benötigten Zeltplane (ohne Boden und Laschen, das
 Zelt ist vollständig geschlossen) gilt:
-V a b , S a ab 2
-9
+<math>V=\frac{9}{4}a^{2}b</math>
-9
+<math>S=\frac{9}{2}a^{2}+ \frac{9}{2}ab</math>.
-= 9 = + .
 :{{Lösung versteckt|
+[[Bild:Andre Etzel_Abi_03_II_2a.jpg|500px]]
 }}
-b) Bestimmen Sie a und b so, dass V = 121,5 m3 ist und dass der Materialverbrauch
+b) Bestimmen Sie a und b so, dass <math>V = 121,5 m^{3}\,</math> ist und dass der Materialverbrauch
-an Zeltplane möglichst gering ist. Wie viele m2 Zeltplane
+an Zeltplane möglichst gering ist. Wie viele <math>m^{2}\,</math> Zeltplane
 werden in diesem Fall benötigt?
 :{{Lösung versteckt|
+[[Bild:Andre Etzel_Abi_03_II_2b.jpg|500px]]
 }}

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