2003 II: Unterschied zwischen den Versionen

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'''Aufgabe 1'''<br />
  
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Gegeben ist die Schar der in IR definierten Funktionen
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<math>f_k(x)=\frac{1}{2}\cdot(k-x)\cdot \sqrt{e^{x}}</math> mit <math>k \in \mathbb R</math> . Der jeweilige Graph von <math>f_k\,</math> wird mit
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<math>G_k\,</math> bezeichnet.<br />
  
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a) Geben Sie <math>f_k(0)\,</math> sowie die Nullstelle von <math>f_k\,</math> an.
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Untersuchen Sie das Verhalten von <math> f_k\,</math> für <math>x\rightarrow -\infty</math>  und für <math>x\rightarrow +\infty</math>
  
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b) Zeigen Sie, dass <math>f^{'}_k(x)= \frac{1}{2}f_{k-2}(x)</math>
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gilt, und ermitteln Sie hiermit
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Funktionsterme der Ableitungen <math>f^{''}_k\,</math> und <math>f^{'''}_k\,</math> sowie einer Stammfunktion
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von <math>f_k\,</math> .
  
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c) Zeigen Sie, dass <math>G_k\,</math> genau einen Hochpunkt und genau einen Wendepunkt
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besitzt, und bestimmen Sie die Koordinaten dieser Punkte.
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Gegeben ist die Schar der Funktionen <math>f_{k}:x = \frac{x^2}{1-kx^2} </math> mit der maximalen Definitionsmenge D<sub>k</sub> und k <math>\in </math> IR. G<sub>k</sub> bezeichnet den Graphen von f<sub>k</sub>.
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a) Bestimmen Sie für k < 0 und k > 0 jeweils die Definitionsmenge D<sub>k</sub>. Untersuchen Sie für k <math>\neq </math> 0 das Verhalten von f<sub>k</sub> für <math>x \to \infty</math> und <math>x \to -\infty</math>. Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten an.  
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d) Zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse <math>G_4\,</math>
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und <math>G_6\,</math> in ein gemeinsames Koordinatensystem ein.
  
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b) Zeigen Sie, dass gilt: <math>f'_{k} (x) = \frac{2x}{\left(1 - kx^2\right)^2 } </math>.
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<ggb_applet width="795" height="512"  version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
  
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Begründen Sie, dass alle Graphen G<sub>k</sub> einen gemeinsamen Tiefpunkt besitzen.
 
  
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e) <math>G_4\,</math> schließt im zweiten Quadranten mit den Koordinatenachsen ein
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sich ins Unendliche erstreckendes Flächenstück ein. Begründen Sie,
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dass dieses einen endlichen Inhalt hat.
  
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c) Skizzieren Sie G<sub>-1</sub> und G<sub>1</sub> in ein gemeinsames Koordinatensystem. Zeichnen Sie auch alle vorhandenen Asymptoten ein.
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d) Beschreiben Sie für den Fall k < 0, wie sich die Lage der waagerechten Asymptote von G<sub>k</sub> für <math>k \to -\infty</math> und <math>k \to 0</math> jeweils verändert.
 
  
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f) Geben Sie an, welche Bedeutung die Funktion <math>2 \cdot f_6\,</math> für die Funktion
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<math>f_4\,</math> hat. Bestimmen Sie mit Hilfe von <math>G_6\,</math> aus Ihrer Zeichnung die positive
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Zahl z (auf eine Dezimale genau), für die <math>\int_{0}^{z} f_4 (x)\,dx =0</math>
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ist.
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Tragen Sie dazu entsprechende Hilfslinien in die Zeichnung ein und
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erläutern Sie Ihr Vorgehen.
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Überprüfen Sie Ihre graphisch gewonnene Näherungslösung, indem
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Sie z mit Hilfe des Taschenrechners auf eine Dezimale genau ermitteln.
  
 
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e) Bestimmen Sie k zunächst so, dass G<sub>k</sub> durch den Punkt P (1|2) verläuft.
 
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Zeigen Sie dann, dass durch jeden beliebigen Punkt, der nicht auf einer der Koordinatenachsen liegt, genau ein Graph G<sub>k</sub> verläuft.
 
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;Aufgabe 2  
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'''Aufgabe 2'''<br />
  
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Das nebenstehende Diagramm zeigt, wie die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs von der Zeit abhängt; der zugehörige Funktionsterm für 0 <math>\leq </math> t <math>\leq </math> 10 ist <math>v (t) = 7t * e^{-0,1t} </math>.  
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Das abgebildete Zelt [[Bild:Straßheimer_Florian_Graph_abiaufgabe_03.jpg‎ |250px| right]] - geometrisch betrachtet
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ein gerades Prisma - hat einen rechteckigen
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Grundriss mit den Seitenlängen <math>\frac{3}{2}a</math>  
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und <math>b\,</math>
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. Die Front besteht aus einem Rechteck mit
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den Seitenlängen <math>\frac{3}{2}a</math> und <math>a\,</math> sowie einem
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aufgesetzten gleichschenkligen Dreieck der
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Höhe <math>a\,</math>.
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a) Zeigen Sie, dass für den Rauminhalt V des Zelts und für den Flächeninhalt
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S der benötigten Zeltplane (ohne Boden und Laschen, das
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Zelt ist vollständig geschlossen) gilt:
  
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Dabei bezeichnet v die Maßzahl der in Metern pro Sekunde gemessenen Geschwindigkeit, t die Maßzahl der in Sekunden gemessenen Zeit.
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<math>V=\frac{9}{4}a^{2}b</math>
  
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Der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen, der t-Achse und der Geraden t = t<sub>0</sub> entspricht dem während der ersten t<sub>0</sub> Sekunden zurückgelegten Weg (in Metern).  
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<math>S=\frac{9}{2}a^{2}+ \frac{9}{2}ab</math>.
  
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a) Berechnen Sie den Weg, den das Fahrzeug in den ersten 10 Sekunden zurücklegt.
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b) Bestimmen Sie a und b so, dass <math>V = 121,5 m^{3}\,</math> ist und dass der Materialverbrauch
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an Zeltplane möglichst gering ist. Wie viele <math>m^{2}\,</math> Zeltplane
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werden in diesem Fall benötigt?
  
 
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Ab dem Zeitpunkt t = 10 wird das Fahrzeug bis zum Stillstand abgebremst. Dabei wird die Abhängigkeit der Geschwindigkeit von der Zeit durch eine lineare Funktion beschrieben.
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b) Ermitteln Sie die Steigung dieser linearen Funktion, wenn der Bremsweg 122,5 Meter beträgt.
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Aktuelle Version vom 18. April 2010, 11:10 Uhr


Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2006
Infinitesimalrechnung II


Download der Originalaufgaben: Abitur 2003 LK Mathematik Bayern - Lösung gesamt


Erarbeitet von Straßheimer Florian, Etzel Andre


Aufgabe 1

Gegeben ist die Schar der in IR definierten Funktionen f_k(x)=\frac{1}{2}\cdot(k-x)\cdot \sqrt{e^{x}} mit k \in \mathbb R . Der jeweilige Graph von f_k\, wird mit G_k\, bezeichnet.

a) Geben Sie f_k(0)\, sowie die Nullstelle von f_k\, an. Untersuchen Sie das Verhalten von f_k\, für x\rightarrow -\infty und für x\rightarrow +\infty

Andre Etzel Abi 03 II 1a.jpg

b) Zeigen Sie, dass f^{'}_k(x)= \frac{1}{2}f_{k-2}(x) gilt, und ermitteln Sie hiermit Funktionsterme der Ableitungen f^{''}_k\, und f^{'''}_k\, sowie einer Stammfunktion von f_k\, .


Andre Etzel Abi 03 II 1b.jpg

c) Zeigen Sie, dass G_k\, genau einen Hochpunkt und genau einen Wendepunkt besitzt, und bestimmen Sie die Koordinaten dieser Punkte.

Andre Etzel Abi 03 II 1c.jpg


d) Zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse G_4\, und G_6\, in ein gemeinsames Koordinatensystem ein.




e) G_4\, schließt im zweiten Quadranten mit den Koordinatenachsen ein sich ins Unendliche erstreckendes Flächenstück ein. Begründen Sie, dass dieses einen endlichen Inhalt hat.


Andre Etzel Abi 03 II 1e.jpg


f) Geben Sie an, welche Bedeutung die Funktion 2 \cdot f_6\, für die Funktion f_4\, hat. Bestimmen Sie mit Hilfe von G_6\, aus Ihrer Zeichnung die positive Zahl z (auf eine Dezimale genau), für die \int_{0}^{z} f_4 (x)\,dx =0 ist. Tragen Sie dazu entsprechende Hilfslinien in die Zeichnung ein und erläutern Sie Ihr Vorgehen. Überprüfen Sie Ihre graphisch gewonnene Näherungslösung, indem Sie z mit Hilfe des Taschenrechners auf eine Dezimale genau ermitteln.

Andre Etzel Abi 03 II 1f.jpg


Aufgabe 2

Das abgebildete Zelt
Straßheimer Florian Graph abiaufgabe 03.jpg
- geometrisch betrachtet

ein gerades Prisma - hat einen rechteckigen Grundriss mit den Seitenlängen \frac{3}{2}a und b\, . Die Front besteht aus einem Rechteck mit den Seitenlängen \frac{3}{2}a und a\, sowie einem aufgesetzten gleichschenkligen Dreieck der Höhe a\,.


a) Zeigen Sie, dass für den Rauminhalt V des Zelts und für den Flächeninhalt S der benötigten Zeltplane (ohne Boden und Laschen, das Zelt ist vollständig geschlossen) gilt:

V=\frac{9}{4}a^{2}b

S=\frac{9}{2}a^{2}+ \frac{9}{2}ab.

Andre Etzel Abi 03 II 2a.jpg

b) Bestimmen Sie a und b so, dass V = 121,5 m^{3}\, ist und dass der Materialverbrauch an Zeltplane möglichst gering ist. Wie viele m^{2}\, Zeltplane werden in diesem Fall benötigt?


Andre Etzel Abi 03 II 2b.jpg



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