2003 II: Unterschied zwischen den Versionen

Aus RMG-Wiki
Wechseln zu: Navigation, Suche
 
(19 dazwischenliegende Versionen von 2 Benutzern werden nicht angezeigt)
Zeile 9: Zeile 9:
  
  
−
<center>[http://www.isb.bayern.de/isb/download.aspx?DownloadFileID=56690cea22e20298b306940dfaa656c6 '''Download der Originalaufgaben: Abitur 2003 LK Mathematik Bayern''']  -  [[Media:|Lösung gesamt]]</center>
+
<center>[http://www.isb.bayern.de/isb/download.aspx?DownloadFileID=56690cea22e20298b306940dfaa656c6 '''Download der Originalaufgaben: Abitur 2003 LK Mathematik Bayern''']  -  [[Media:Andre Etzel_Abi_03_II_Lösungen1.doc|Lösung gesamt]]</center>
  
  
Zeile 24: Zeile 24:
 
<tr><td  width="800px" valign="top">
 
<tr><td  width="800px" valign="top">
  
 +
'''Aufgabe 1'''<br />
  
 +
Gegeben ist die Schar der in IR definierten Funktionen
 +
<math>f_k(x)=\frac{1}{2}\cdot(k-x)\cdot \sqrt{e^{x}}</math> mit <math>k \in \mathbb R</math> . Der jeweilige Graph von <math>f_k\,</math> wird mit
 +
<math>G_k\,</math> bezeichnet.<br />
 +
 +
a) Geben Sie <math>f_k(0)\,</math> sowie die Nullstelle von <math>f_k\,</math> an.
 +
Untersuchen Sie das Verhalten von <math> f_k\,</math> für <math>x\rightarrow -\infty</math>  und für <math>x\rightarrow +\infty</math> 
 +
 +
:{{Lösung versteckt|
 +
[[Bild:Andre Etzel_Abi_03_II_1a.jpg|500px]]
 +
 +
}}
 +
 +
b) Zeigen Sie, dass <math>f^{'}_k(x)= \frac{1}{2}f_{k-2}(x)</math>
 +
gilt, und ermitteln Sie hiermit
 +
Funktionsterme der Ableitungen <math>f^{''}_k\,</math> und <math>f^{'''}_k\,</math> sowie einer Stammfunktion
 +
von <math>f_k\,</math> .
 +
 +
:{{Lösung versteckt|
 +
 +
[[Bild:Andre Etzel_Abi_03_II_1b.jpg|500px]]
 +
}}
 +
 +
c) Zeigen Sie, dass <math>G_k\,</math> genau einen Hochpunkt und genau einen Wendepunkt
 +
besitzt, und bestimmen Sie die Koordinaten dieser Punkte.
 +
 +
:{{Lösung versteckt|
 +
[[Bild:Andre Etzel_Abi_03_II_1c.jpg|500px]]
 +
 +
}}
 +
 +
 +
d) Zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse <math>G_4\,</math>
 +
und <math>G_6\,</math> in ein gemeinsames Koordinatensystem ein.
 +
 +
:{{Lösung versteckt|
 +
 +
<ggb_applet width="795" height="512"  version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "true" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" allowRescaling = "true" />
 +
 +
 +
}}
 +
 +
 +
e) <math>G_4\,</math> schließt im zweiten Quadranten mit den Koordinatenachsen ein
 +
sich ins Unendliche erstreckendes Flächenstück ein. Begründen Sie,
 +
dass dieses einen endlichen Inhalt hat.
 +
 +
:{{Lösung versteckt|
 +
 +
[[Bild:Andre Etzel_Abi_03_II_1e.jpg|500px]]
 +
}}
 +
 +
 +
f) Geben Sie an, welche Bedeutung die Funktion <math>2 \cdot f_6\,</math> für die Funktion
 +
<math>f_4\,</math> hat. Bestimmen Sie mit Hilfe von <math>G_6\,</math> aus Ihrer Zeichnung die positive
 +
Zahl z (auf eine Dezimale genau), für die <math>\int_{0}^{z} f_4 (x)\,dx =0</math>
 +
ist.
 +
Tragen Sie dazu entsprechende Hilfslinien in die Zeichnung ein und
 +
erläutern Sie Ihr Vorgehen.
 +
Überprüfen Sie Ihre graphisch gewonnene Näherungslösung, indem
 +
Sie z mit Hilfe des Taschenrechners auf eine Dezimale genau ermitteln.
 +
 +
:{{Lösung versteckt|
 +
[[Bild:Andre Etzel_Abi_03_II_1f.jpg|500px]]
 +
 +
}}
  
 
</td></tr></table></center>
 
</td></tr></table></center>
Zeile 36: Zeile 102:
 
<tr><td  width="800px" valign="top">
 
<tr><td  width="800px" valign="top">
  
 +
'''Aufgabe 2'''<br />
 +
 +
Das abgebildete Zelt [[Bild:Straßheimer_Florian_Graph_abiaufgabe_03.jpg‎ |250px| right]] - geometrisch betrachtet
 +
ein gerades Prisma - hat einen rechteckigen
 +
Grundriss mit den Seitenlängen <math>\frac{3}{2}a</math>
 +
und <math>b\,</math>
 +
. Die Front besteht aus einem Rechteck mit
 +
den Seitenlängen <math>\frac{3}{2}a</math> und <math>a\,</math> sowie einem
 +
aufgesetzten gleichschenkligen Dreieck der
 +
Höhe <math>a\,</math>.
 +
<br />
 +
<br />
 +
<br />
 +
a) Zeigen Sie, dass für den Rauminhalt V des Zelts und für den Flächeninhalt
 +
S der benötigten Zeltplane (ohne Boden und Laschen, das
 +
Zelt ist vollständig geschlossen) gilt:
 +
 +
<math>V=\frac{9}{4}a^{2}b</math>
 +
 +
<math>S=\frac{9}{2}a^{2}+ \frac{9}{2}ab</math>.
 +
 +
:{{Lösung versteckt|
 +
[[Bild:Andre Etzel_Abi_03_II_2a.jpg|500px]]
 +
 +
}}
 +
 +
b) Bestimmen Sie a und b so, dass <math>V = 121,5 m^{3}\,</math> ist und dass der Materialverbrauch
 +
an Zeltplane möglichst gering ist. Wie viele <math>m^{2}\,</math> Zeltplane
 +
werden in diesem Fall benötigt?
 +
 +
:{{Lösung versteckt|
  
 +
[[Bild:Andre Etzel_Abi_03_II_2b.jpg|500px]]
 +
}}
  
  

Aktuelle Version vom 18. April 2010, 12:10 Uhr


Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2006
Infinitesimalrechnung II


Download der Originalaufgaben: Abitur 2003 LK Mathematik Bayern - Lösung gesamt


Erarbeitet von Straßheimer Florian, Etzel Andre


Aufgabe 1

Gegeben ist die Schar der in IR definierten Funktionen f_k(x)=\frac{1}{2}\cdot(k-x)\cdot \sqrt{e^{x}} mit k \in \mathbb R . Der jeweilige Graph von f_k\, wird mit G_k\, bezeichnet.

a) Geben Sie f_k(0)\, sowie die Nullstelle von f_k\, an. Untersuchen Sie das Verhalten von f_k\, für x\rightarrow -\infty und für x\rightarrow +\infty

[Lösung anzeigen]

b) Zeigen Sie, dass f^{'}_k(x)= \frac{1}{2}f_{k-2}(x) gilt, und ermitteln Sie hiermit Funktionsterme der Ableitungen f^{''}_k\, und f^{'''}_k\, sowie einer Stammfunktion von f_k\, .

[Lösung anzeigen]

c) Zeigen Sie, dass G_k\, genau einen Hochpunkt und genau einen Wendepunkt besitzt, und bestimmen Sie die Koordinaten dieser Punkte.

[Lösung anzeigen]


d) Zeichnen Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse G_4\, und G_6\, in ein gemeinsames Koordinatensystem ein.

[Lösung anzeigen]


e) G_4\, schließt im zweiten Quadranten mit den Koordinatenachsen ein sich ins Unendliche erstreckendes Flächenstück ein. Begründen Sie, dass dieses einen endlichen Inhalt hat.

[Lösung anzeigen]


f) Geben Sie an, welche Bedeutung die Funktion 2 \cdot f_6\, für die Funktion f_4\, hat. Bestimmen Sie mit Hilfe von G_6\, aus Ihrer Zeichnung die positive Zahl z (auf eine Dezimale genau), für die \int_{0}^{z} f_4 (x)\,dx =0 ist. Tragen Sie dazu entsprechende Hilfslinien in die Zeichnung ein und erläutern Sie Ihr Vorgehen. Überprüfen Sie Ihre graphisch gewonnene Näherungslösung, indem Sie z mit Hilfe des Taschenrechners auf eine Dezimale genau ermitteln.

[Lösung anzeigen]


Aufgabe 2

Das abgebildete Zelt
Straßheimer Florian Graph abiaufgabe 03.jpg
- geometrisch betrachtet

ein gerades Prisma - hat einen rechteckigen Grundriss mit den Seitenlängen \frac{3}{2}a und b\, . Die Front besteht aus einem Rechteck mit den Seitenlängen \frac{3}{2}a und a\, sowie einem aufgesetzten gleichschenkligen Dreieck der Höhe a\,.


a) Zeigen Sie, dass für den Rauminhalt V des Zelts und für den Flächeninhalt S der benötigten Zeltplane (ohne Boden und Laschen, das Zelt ist vollständig geschlossen) gilt:

V=\frac{9}{4}a^{2}b

S=\frac{9}{2}a^{2}+ \frac{9}{2}ab.

[Lösung anzeigen]

b) Bestimmen Sie a und b so, dass V = 121,5 m^{3}\, ist und dass der Materialverbrauch an Zeltplane möglichst gering ist. Wie viele m^{2}\, Zeltplane werden in diesem Fall benötigt?

[Lösung anzeigen]



Von „http://rmg.zum.de/index.php?title=LK_Mathematik/Abitur/2003_II&oldid=32247“