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| − | ;Aufgabe 1
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| − | Gegeben ist die Schar der Funktionen <math>f_{k}:x = \frac{x^2}{1-kx^2} </math> mit der maximalen Definitionsmenge D<sub>k</sub> und k <math>\in </math> IR. G<sub>k</sub> bezeichnet den Graphen von f<sub>k</sub>.
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| − | a) Bestimmen Sie für k < 0 und k > 0 jeweils die Definitionsmenge D<sub>k</sub>. Untersuchen Sie für k <math>\neq </math> 0 das Verhalten von f<sub>k</sub> für <math>x \to \infty</math> und <math>x \to -\infty</math>. Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten an.
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| − | :{{Lösung versteckt|
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| − | <div align="right"><i>'''6 BE'''</i></div>
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| − | b) Zeigen Sie, dass gilt: <math>f'_{k} (x) = \frac{2x}{\left(1 - kx^2\right)^2 } </math>.
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| − | Begründen Sie, dass alle Graphen G<sub>k</sub> einen gemeinsamen Tiefpunkt besitzen.
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| − | :{{Lösung versteckt|
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| − | [[Bild]]
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| − | <div align="right"><i>'''5 BE'''</i></div>
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| − | c) Skizzieren Sie G<sub>-1</sub> und G<sub>1</sub> in ein gemeinsames Koordinatensystem. Zeichnen Sie auch alle vorhandenen Asymptoten ein.
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| − | :{{Lösung versteckt|
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| − | [[Bild:]]
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| − | <div align="right"><i>'''7 BE'''</i></div>
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| − | d) Beschreiben Sie für den Fall k < 0, wie sich die Lage der waagerechten Asymptote von G<sub>k</sub> für <math>k \to -\infty</math> und <math>k \to 0</math> jeweils verändert.
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| − | :{{Lösung versteckt|
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| − | [[Bild:]]
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| − | e) Bestimmen Sie k zunächst so, dass G<sub>k</sub> durch den Punkt P (1|2) verläuft.
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| − | Zeigen Sie dann, dass durch jeden beliebigen Punkt, der nicht auf einer der Koordinatenachsen liegt, genau ein Graph G<sub>k</sub> verläuft.
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| − | :{{Lösung versteckt|
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| − | [[Bild:]]
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| − | ;Aufgabe 2
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| − | Das nebenstehende Diagramm zeigt, wie die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs von der Zeit abhängt; der zugehörige Funktionsterm für 0 <math>\leq </math> t <math>\leq </math> 10 ist <math>v (t) = 7t * e^{-0,1t} </math>.
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| − | Dabei bezeichnet v die Maßzahl der in Metern pro Sekunde gemessenen Geschwindigkeit, t die Maßzahl der in Sekunden gemessenen Zeit.
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| − | Der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen, der t-Achse und der Geraden t = t<sub>0</sub> entspricht dem während der ersten t<sub>0</sub> Sekunden zurückgelegten Weg (in Metern).
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| − | a) Berechnen Sie den Weg, den das Fahrzeug in den ersten 10 Sekunden zurücklegt.
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| − | :{{Lösung versteckt|
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| − | [[Bild:]]
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| − | <div align="right"><i>'''8 BE'''</i></div>
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| − | Ab dem Zeitpunkt t = 10 wird das Fahrzeug bis zum Stillstand abgebremst. Dabei wird die Abhängigkeit der Geschwindigkeit von der Zeit durch eine lineare Funktion beschrieben.
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| − | b) Ermitteln Sie die Steigung dieser linearen Funktion, wenn der Bremsweg 122,5 Meter beträgt.
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| − | :{{Lösung versteckt|
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| − | [[Bild:]]
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| − | <div align="right"><i>'''5 BE'''</i></div>
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