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Das nebenstehende Diagramm zeigt, wie die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs von der Zeit abhängt; der zugehörige Funktionsterm für 0 <math>\leq </math> t <math>\leq </math> 10 ist <math>v (t) = 7t * e^{-0,1t} </math>.
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Dabei bezeichnet v die Maßzahl der in Metern pro Sekunde gemessenen Geschwindigkeit, t die Maßzahl der in Sekunden gemessenen Zeit.
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Der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen, der t-Achse und der Geraden t = t<sub>0</sub> entspricht dem während der ersten t<sub>0</sub> Sekunden zurückgelegten Weg (in Metern).
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Version vom 9. April 2010, 12:00 Uhr


Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2006
Infinitesimalrechnung II


Download der Originalaufgaben: Abitur 2003 LK Mathematik Bayern - [[Media:|Lösung gesamt]]


Erarbeitet von Straßheimer Florian, Etzel Andre








Aufgabe 1

Gegeben ist die Schar der Funktionen f_{k}:x = \frac{x^2}{1-kx^2} mit der maximalen Definitionsmenge Dk und k \in IR. Gk bezeichnet den Graphen von fk.


a) Bestimmen Sie für k < 0 und k > 0 jeweils die Definitionsmenge Dk. Untersuchen Sie für k \neq 0 das Verhalten von fk für x \to \infty und x \to -\infty. Geben Sie die Gleichungen aller Asymptoten an.


Bild

6 BE


b) Zeigen Sie, dass gilt: f'_{k} (x) = \frac{2x}{\left(1 - kx^2\right)^2 } .


Begründen Sie, dass alle Graphen Gk einen gemeinsamen Tiefpunkt besitzen.


Bild

5 BE


c) Skizzieren Sie G-1 und G1 in ein gemeinsames Koordinatensystem. Zeichnen Sie auch alle vorhandenen Asymptoten ein.


[[Bild:]]

7 BE


d) Beschreiben Sie für den Fall k < 0, wie sich die Lage der waagerechten Asymptote von Gk für k \to -\infty und k \to 0 jeweils verändert.


[[Bild:]]

3 BE


e) Bestimmen Sie k zunächst so, dass Gk durch den Punkt P (1|2) verläuft.

Zeigen Sie dann, dass durch jeden beliebigen Punkt, der nicht auf einer der Koordinatenachsen liegt, genau ein Graph Gk verläuft.


[[Bild:]]

6 BE


</td></tr></table></center>


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Aufgabe 2

Das nebenstehende Diagramm zeigt, wie die Geschwindigkeit eines Fahrzeugs von der Zeit abhängt; der zugehörige Funktionsterm für 0 \leq t \leq 10 ist v (t) = 7t * e^{-0,1t} .

Dabei bezeichnet v die Maßzahl der in Metern pro Sekunde gemessenen Geschwindigkeit, t die Maßzahl der in Sekunden gemessenen Zeit.

Der Inhalt der Fläche zwischen dem Graphen, der t-Achse und der Geraden t = t0 entspricht dem während der ersten t0 Sekunden zurückgelegten Weg (in Metern).


a) Berechnen Sie den Weg, den das Fahrzeug in den ersten 10 Sekunden zurücklegt.


[[Bild:]]

8 BE


Ab dem Zeitpunkt t = 10 wird das Fahrzeug bis zum Stillstand abgebremst. Dabei wird die Abhängigkeit der Geschwindigkeit von der Zeit durch eine lineare Funktion beschrieben.


b) Ermitteln Sie die Steigung dieser linearen Funktion, wenn der Bremsweg 122,5 Meter beträgt.


[[Bild:]]

5 BE



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