2006 II: Unterschied zwischen den Versionen

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;Aufgabe 1
 
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1.Gegeben ist die Schar der Funktionen   mit kIR+  und Definitionsmenge  IR.   bezeichnet den Graphen von .  
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1.Gegeben ist die Schar der Funktionen<br />
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:: <math>f_k = \frac{k}{1+e^{-kx}}</math> <br /> 
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mit <math>k \in IR^{+}</math> und Definitionsmenge  <math>IR \,</math>. <math>G_k \,</math> bezeichnet den Graphen von <math>f_k \,</math>.  
  
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a) Untersuchen Sie das Verhalten von   für   und  .  
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a) Untersuchen Sie das Verhalten von <math>f_k \,</math>  für <math>x \rightarrow +\infty</math>  und  <math>x \rightarrow -\infty</math>.  
  
 
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b) Bestimmen Sie das Monotonieverhalten von   und geben Sie die Wertemenge an.  
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b) Bestimmen Sie das Monotonieverhalten von <math>f_k \,</math>  und geben Sie die Wertemenge an. <br />
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[mögliches Zwischenergebnis: <math>f_k ^{'}(x)= \frac{k^{2}e^{-kx}}{(1+e^{-kx})^{2}}</math> ]
  
 
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c) Weisen Sie nach, dass der Punkt   der einzige Wendepunkt von   ist.  
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c) Weisen Sie nach, dass der Punkt <math>W_k (0/\frac{k}{2})</math>  der einzige Wendepunkt von <math>G_k \,</math>  ist.  
  
 
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d) Weisen Sie nach, dass für alle kIR+ und alle xIR gilt:  . Begründen Sie damit die Symmetrie von   zum Punkt .  
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d) Weisen Sie nach, dass für alle <math>k \in IR^{+}</math> und alle <math>x \in IR</math> gilt:  <math>f_k(-x) + f_k(x)=k \,</math>. Begründen Sie damit die Symmetrie von <math>G_k \,</math>  zum Punkt <math>W_k \,</math> .  
  
 
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e) Die beiden  Koordinatenachsen und   begrenzen im zweiten Quadranten ein sich ins Unendliche erstreckendes Flächenstück. Veranschaulichen Sie dieses Flächenstück in einer Skizze. Zeigen Sie, dass das Flächenstück den endlichen Inhalt   besitzt.  
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e) Die beiden  Koordinatenachsen und <math>G_k \,</math>  begrenzen im zweiten Quadranten ein sich ins Unendliche erstreckendes Flächenstück. Veranschaulichen Sie dieses Flächenstück in einer Skizze. Zeigen Sie, dass das Flächenstück den endlichen Inhalt <math>\ln (2) \,</math>  besitzt.  
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(Hinweis: Für die Integration ist es hilfreich, den Funktionsterm mit  zu erweitern.)  
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(Hinweis: Für die Integration ist es hilfreich, den Funktionsterm mit <math>e^{kx} \,</math>   zu erweitern.)  
  
 
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2. Bei vielen Wachstumsvorgängen ist kein unbeschränktes Wachstum möglich. Dies gilt z. B. auch für eine Bakterienkultur, deren Bakterienzahl schließlich einer oberen Grenze entgegenstrebt. Die Zahl der Bakterien einer Kultur wird näherungsweise durch die Funktion N mit , beschrieben. Dabei gibt x die Zeit in Stunden an, die seit dem Ansetzen der Bakterienkultur vergangen ist. Die Abbildung zeigt den Graphen von N.
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2. Bei vielen Wachstumsvorgängen ist kein unbeschränktes Wachstum möglich. Dies gilt z. B. auch für eine Bakterienkultur, deren Bakterienzahl schließlich einer oberen Grenze entgegenstrebt. Die Zahl der Bakterien einer Kultur wird näherungsweise durch die Funktion N mit <br />
  
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a) Geben Sie an, wie der Graph von N aus  der Aufgabe 1 entsteht.
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<math> N(x)=10^{6} \cdot \frac{2}{1+e^{-2(x+6,908)}}</math> ,<math>x \ge 0</math>, <br />
  
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beschrieben. Dabei gibt x die Zeit in Stunden an, die seit dem Ansetzen der Bakterienkultur vergangen ist. Die Abbildung zeigt den Graphen von N.
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a) Geben Sie an, wie der Graph von N aus <math>G_2 \, </math>  der Aufgabe 1 entsteht.
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Aktuelle Version vom 25. März 2010, 21:40 Uhr


Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2006
Infinitesimalrechnung II


Download der Originalaufgaben: Abitur 2006 LK Mathematik Bayern - Lösung gesamt


Erarbeitet von Straßheimer Florian, Etzel Andre


Aufgabe 1

1.Gegeben ist die Schar der Funktionen

f_k = \frac{k}{1+e^{-kx}}

mit k \in IR^{+} und Definitionsmenge IR \,. G_k \, bezeichnet den Graphen von f_k \,.


a) Untersuchen Sie das Verhalten von f_k \, für x \rightarrow +\infty und x \rightarrow -\infty.

Abi 2006 II 1a.jpg

b) Bestimmen Sie das Monotonieverhalten von f_k \, und geben Sie die Wertemenge an.
[mögliches Zwischenergebnis: f_k ^{'}(x)= \frac{k^{2}e^{-kx}}{(1+e^{-kx})^{2}} ]

Abi 2006 II 1b2.jpg

c) Weisen Sie nach, dass der Punkt W_k (0/\frac{k}{2}) der einzige Wendepunkt von G_k \, ist.

1c.jpg

d) Weisen Sie nach, dass für alle k \in IR^{+} und alle x \in IR gilt: f_k(-x) + f_k(x)=k \,. Begründen Sie damit die Symmetrie von G_k \, zum Punkt W_k \, .

Abi 2006 II 1d1.jpg

e) Die beiden Koordinatenachsen und G_k \, begrenzen im zweiten Quadranten ein sich ins Unendliche erstreckendes Flächenstück. Veranschaulichen Sie dieses Flächenstück in einer Skizze. Zeigen Sie, dass das Flächenstück den endlichen Inhalt \ln (2) \, besitzt. (Hinweis: Für die Integration ist es hilfreich, den Funktionsterm mit e^{kx} \, zu erweitern.)

Abi 2006 II 1e.jpg



Aufgabe 2

2. Bei vielen Wachstumsvorgängen ist kein unbeschränktes Wachstum möglich. Dies gilt z. B. auch für eine Bakterienkultur, deren Bakterienzahl schließlich einer oberen Grenze entgegenstrebt. Die Zahl der Bakterien einer Kultur wird näherungsweise durch die Funktion N mit

N(x)=10^{6} \cdot \frac{2}{1+e^{-2(x+6,908)}} ,x \ge 0,


beschrieben. Dabei gibt x die Zeit in Stunden an, die seit dem Ansetzen der Bakterienkultur vergangen ist. Die Abbildung zeigt den Graphen von N.

a) Geben Sie an, wie der Graph von N aus G_2 \, der Aufgabe 1 entsteht.

Abi 2006 II 2a.jpg

b) Mit wie vielen Bakterien wurde die Kultur angesetzt, wie viele Bakterien sind es nach zwei Stunden?

Abi 2006 II 2b.jpg

c) Berechnen Sie, nach welcher Zeit 90 % des Grenzbestandes von 2 Millionen Bakterien erreicht sind.

Abi 2006 II 2c.jpg

d) Schätzen Sie rechnerisch ab, wie viele Bakterien in der Minute stärksten Wachstums hinzukommen.

Abi 2006 II 2d.jpg



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