2005 VI: Unterschied zwischen den Versionen

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mit a, <math>\lambda</math> <math>\in</math> <math>\mathbb{R}</math><sup>-</sup> gegeben. Die Punkte A(10/0/0), B(0/5/0) und C(0/0/5) bestimmen eine Ebene, die mit E bezeichnet wird.                     
 
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c) Die Kugel wird nun angestoßen und rollt auf die Ebene E zu. Geben Sie eine Gleichung der Geraden m an, auf der sich dabei der Mittelpunkt der Kugel bewegt.
 
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Begründen Sie, weshalb der Punkt, in dem die Kugel schließlich die Ebene E berührt, nicht mit dem Schnittpunkt von m und E zusammenfällt.
 
Begründen Sie, weshalb der Punkt, in dem die Kugel schließlich die Ebene E berührt, nicht mit dem Schnittpunkt von m und E zusammenfällt.
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Der Normalenvektor der Ebene und der Richtungsvektor von m sind nicht linear abhängig. Daraus folgt, dass m nicht senkrecht auf der Ebene steht. Der Berührpunkt einer Kugel mit eine Ebene liegt aber immer auf einer senkrechten Geraden zur Ebene durch den Mittelpunkt der Kugel. Somit ist der Berührpunkt nicht der Schnittpunkt der Geraden m mit der Ebene.
 
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Aktuelle Version vom 23. März 2010, 16:32 Uhr

Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2005
Analytische Geometrie VI


Download der Originalaufgaben: Abitur 2005 LK Mathematik Bayern - Lösung gesamt


Erarbeitet von Tanja Kraus



In einem kartesischen Koordinatensystem ist die Geradenschar ga : \vec x = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot\begin{pmatrix} a \\ 1 \\ a+2 \end{pmatrix} mit a, \lambda \in \mathbb{R}- gegeben. Die Punkte A(10/0/0), B(0/5/0) und C(0/0/5) bestimmen eine Ebene, die mit E bezeichnet wird.


Aufgabe 1

a) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenform. [mögliches Ergebnis E: x1 + 2x2 + 2x3 - 10 = 0]

3 BE


Abi 2005 VI 1a.jpg


Bemerkung

Eine andere Möglichkeit wäre, mit Hilfe des Vektorprodukts den Normalenvektor der Ebene aufzustellen.

Abi 05 VI 1a.jpg

b) Berechnen Sie den Schnittwinkel zwischen der Geraden g-1 und der Ebene E.

3 BE


.Abi 2005 VI 1b.jpg


c) Zeigen Sie, dass die Gerade g-2 in der Ebene E liegt und echt parallel zur Geraden AB ist.


4 BE


.Abi 2005 VI 1c.jpg
Bemerkung

Dass die beiden Richtungsvektoren linear abhängig sind, hat zur Folge, dass die die beiden Geraden echt parallel oder identisch sind. Man muss erst noch beweisen, dass sie nicht identisch sind, indem man beispielsweise überprüft, ob der Punkt A auf der Geraden g liegt. Das ist nicht der Fall. Daraus folgt, dass die beiden Geraden echt parallel sind.


Aufgabe 2

a) Der Punkt C wird an der Geraden AB gespiegelt. Ermitteln Sie die Koordinaten des Spiegelpunkts C*.

[Ergebnis: C* = (4/8/-5)]

5 BE


.Abi 2005 VI 2a.jpg

Abi 2005 VI 2a 2.jpg


b) Weisen Sie nach, dass das Drachenviereck AC*BC den Flächeninhalt 75 hat.

4 BE


.Abi 2005 VI 2b.jpg


c) Die Gerade g-2 schneidet die Strecke [AC] im Punkt A' (8/0/1)und zerlegt das Dreieck ABC in zwei Teile (Nachweis nicht erforderlich). Berechnen Sie das Verhältnis der Flächeninhalte dieser beiden Teile.

6 BE


.Abi 2005 VI 2c.jpg


Aufgabe 3

In der Ebene H: x3 = 3 liegen zwei parallele Schienen s1 und s2.Die Schiene s1 wird durch die Gerade s1 : \vec x = \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + \tau\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} mit \tau \in \mathbb{R} -

a) Berechnen Sie die Koordinaten des Punkts S, in dem die Kugel die Schiene s1 berührt.

[Ergebnis: S = (20/27/3)]

6 BE


.Abi 2005 VI 3a.jpg


b) Bestimmen Sie eine Gleichung der Schiene s2.

5 BE


.Abi 2005 VI 3b.jpg

Bemerkung

Die Projektion von M in die x3-Ebene heißt, dass die x1- und x2-Werte erhalten bleiben und der x3-Wert in diesem Fall 3 ist.



c) Die Kugel wird nun angestoßen und rollt auf die Ebene E zu. Geben Sie eine Gleichung der Geraden m an, auf der sich dabei der Mittelpunkt der Kugel bewegt. Begründen Sie, weshalb der Punkt, in dem die Kugel schließlich die Ebene E berührt, nicht mit dem Schnittpunkt von m und E zusammenfällt.

4 BE


.Abi 2005 VI 3c.jpg

Bemerkung

Der Normalenvektor der Ebene und der Richtungsvektor von m sind nicht linear abhängig. Daraus folgt, dass m nicht senkrecht auf der Ebene steht. Der Berührpunkt einer Kugel mit eine Ebene liegt aber immer auf einer senkrechten Geraden zur Ebene durch den Mittelpunkt der Kugel. Somit ist der Berührpunkt nicht der Schnittpunkt der Geraden m mit der Ebene.


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