2005 VI: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 23. März 2010, 16:14 Uhr

Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2005 Analytische Geometrie VI

Download der Originalaufgaben: Abitur 2005 LK Mathematik Bayern - Lösung gesamt

Erarbeitet von Tanja Kraus

In einem kartesischen Koordinatensystem ist die Geradenschar g_a : $\vec x = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot\begin{pmatrix} a \\ 1 \\ a+2 \end{pmatrix}$ mit a, $\lambda$ $\in$ $\mathbb{R}$ ^- gegeben. Die Punkte A(10/0/0), B(0/5/0) und C(0/0/5) bestimmen eine Ebene, die mit E bezeichnet wird.

Aufgabe 1

a) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenform. [mögliches Ergebnis E: x₁ + 2x₂ + 2x₃ - 10 = 0]

3 BE

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

Bemerkung

Eine andere Möglchkeit wäre, mit Hilfe des Vektorprodukts den Normalenvektor der Ebene aufzustellen.

[Lösung anzeigen][Lösung ausblenden]

b) Berechnen Sie den Schnittwinkel zwischen der Geraden g_-1 und der Ebene E.

3 BE

.

c) Zeigen Sie, dass die Gerade g_-2 in der Ebene E liegt und echt parallel zur Geraden AB ist.

4 BE

.

Aufgabe 2

a) Der Punkt C wird an der Geraden AB gespiegelt. Ermitteln Sie die Koordinaten des Spiegelpunkts C^*.

[Ergebnis: C^* = (4/8/-5)]

5 BE

.

b) Weisen Sie nach, dass das Drachenviereck AC^*BC den Flächeninhalt 75 hat.

4 BE

.

c) Die Gerade g_-2 schneidet die Strecke [AC] im Punkt A^' (8/0/1)und zerlegt das Dreieck ABC in zwei Teile (Nachweis nicht erforderlich). Berechnen Sie das Verhältnis der Flächeninhalte dieser beiden Teile.

6 BE

.

Aufgabe 3

In der Ebene H: x₃ = 3 liegen zwei parallele Schienen s₁ und s₂.Die Schiene s₁ wird durch die Gerade s₁ : $\vec x = \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + \tau\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$ mit $\tau$ $\in$ $\mathbb{R}$ ^-

a) Berechnen Sie die Koordinaten des Punkts S, in dem die Kugel die Schiene s₁ berührt.

[Ergebnis: S = (20/27/3)]

6 BE

.

b) Bestimmen Sie eine Gleichung der Schiene s₂.

5 BE

.

c) Die Kugel wird nun angestoßen und rollt auf die Ebene E zu. Geben Sie eine Gleichung der Geraden m an, auf der sich dabei der Mittelpunkt der Kugel bewegt. Begründen Sie, weshalb der Punkt, in dem die Kugel schließlich die Ebene E berührt, nicht mit dem Schnittpunkt von m und E zusammenfällt.

4 BE

.

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+Eine andere Möglchkeit wäre, mit Hilfe des Vektorprodukts den Normalenvektor der Ebene aufzustellen.
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 b) Berechnen Sie den Schnittwinkel zwischen der Geraden g<sub>-1</sub> und der Ebene E.

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