2005 VI: Unterschied zwischen den Versionen

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Version vom 21. März 2010, 23:00 Uhr

Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2005
Analytische Geometrie VI


Download der Originalaufgaben: Abitur 2005 LK Mathematik Bayern - Lösung gesamt


Erarbeitet von Tanja Kraus



In einem kartesischen Koordinatensystem ist die Geradenschar ga : \vec x = \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot\begin{pmatrix} a \\ 1 \\ a+2 \end{pmatrix} mit a, \lambda \in \mathbb{R}- gegeben. Die Punkte A(10/0/0), B(0/5/0) und C(0/0/5) bestimmen eine Ebene, die mit E bezeichnet wird.


Aufgabe 1

a) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenform. [mögliches Ergebnis E: x1 + 2x2 + 2x3 - 10 = 0]

3 BE


Abi 2005 VI 1a.jpg


b) Berechnen Sie den Schnittwinkel zwischen der Geraden g-1 und der Ebene E.

3 BE


.Abi 2005 VI 1b.jpg


c) Zeigen Sie, dass die Gerade g-2 in der Ebene E liegt und echt parallel zur Geraden AB ist.


4 BE


.Abi 2005 VI 1c.jpg



Aufgabe 2

a) Der Punkt C wird an der Geraden AB gespiegelt. Ermitteln Sie die Koordinaten des Spiegelpunkts C*.

[Ergebnis: C* = (4/8/-5)]

5 BE


.Abi 2005 VI 2a.jpg


b) Weisen Sie nach, dass das Drachenviereck AC*BC den Flächeninhalt 75 hat.

4 BE


.Abi 2005 VI 2b.jpg


c) Die Gerade g-2 schneidet die Strecke [AC] im Punkt A' (8/0/1)und zerlegt das Dreieck ABC in zwei Teile (Nachweis nicht erforderlich). Berechnen Sie das Verhältnis der Flächeninhalte dieser beiden Teile.

6 BE


.Abi 2005 VI 2c.jpg


Aufgabe 3

In der Ebene H: x3 = 3 liegen zwei parallele Schienen s1 und s2.Die Schiene s1 wird durch die Gerade s1 : \vec x = \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix} + \tau\cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix} mit \tau \in \mathbb{R} -

a) Berechnen Sie die Koordinaten des Punkts S, in dem die Kugel die Schiene s1 berührt.

[Ergebnis: S = (20/27/3)]

6 BE


.Abi 2005 VI 3a.jpg


b) Bestimmen Sie eine Gleichung der Schiene s2.

5 BE


.Abi 2005 VI 3b.jpg


c) Die Kugel wird nun angestoßen und rollt auf die Ebene E zu. Geben Sie eine Gleichung der Geraden m an, auf der sich dabei der Mittelpunkt der Kugel bewegt. Begründen Sie, weshalb der Punkt, in dem die Kugel schließlich die Ebene E berührt, nicht mit dem Schnittpunkt von m und E zusammenfällt.

4 BE


.Abi 2005 VI 3c.jpg



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