2006 VI: Unterschied zwischen den Versionen

Aufgabe 1

Gegeben ist eine Kugel K mit dem Radius 5, die in eine im Koordinatensystem stehende würfelförmige Schachtel ABCDEFGH mit der Kantenlänge 10 (siehe Abbildung) verpackt ist, sowie die Punkteschar Pa(10|0| ) mit dem Parameter a ∈ IR₀⁺.

a) Wie viel Prozent des Schachtelvolumens füllt die Kugel aus? (2 BE)

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b) Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte Z1 und Z2 , in denen die Gerade DF die Kugel schneidet. (5 BE)
[Zur Kontrolle: Z1(5+ |5-|5+)]

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c) Geben Sie die kürzeste Strecke an, auf der sich der Punkt Pa bewegt, wenn a das Intervall [0;∞[ durchläuft. Begründen Sie Ihre Antwort. (5 BE)

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Aufgabe 2

Um diese Verpackung attraktiver zu gestalten, werden durch Ebenen, die senkrecht zu den Raumdiagonalen des Würfels verlaufen, an allen seinen Ecken kongruente dreiseitige Pyramiden abgeschnitten.

a) Um welche besonderen Dreiecke handelt es sich bei der Grundfläche (Schnittfläche) und den Seitenflächen der abgeschnittenen Pyramiden? (3 BE)

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b) Bestimmen Sie eine Gleichung derjenigen Ebene Sa in Normalenform, die senkrecht zu DF liegt und den Punkt Pa enthält. (5 BE)
[mögliches Ergebnis: Sa : x1 − x2 + x3 − = 0]

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Aufgabe 3

Im Folgenden sei a = 4.

a) Zeigen Sie durch Rechnung, dass die Ebene S4 die Kugel nicht schneidet. (5 BE)

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b) Zeichnen Sie den Würfel, den Punkt P4 und die Schnittfläche der Ebene S4 mit dem Würfel in ein Koordinatensystem (Orientierung wie in obiger Abbildung) ein. (5 BE)

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c) Berechnen Sie die Volumenverkleinerung der Schachtel und die Ober- flächenabnahme der Schachtel, wenn in gleicher Weise wie durch S4 an der Ecke F an allen Würfelecken Pyramiden abgeschnitten werden. (6 BE)

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d) Die Ebene S4 und die drei entsprechenden Ebenen, die die oberen Ecken E, G und H des Würfels abschneiden, haben genau einen Punkt W gemeinsam (Nachweis nicht erforderlich). Berechnen Sie die Koordinaten von W. (5 BE)

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