2007 V: Unterschied zwischen den Versionen
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<center><big>'''Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2007'''</big></center> | <center><big>'''Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2007'''</big></center> | ||
<center><big>'''Analytische Geometrie V'''</big></center> | <center><big>'''Analytische Geometrie V'''</big></center> | ||
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<center>'''Lösung von Ruth Burkard, Julian Weinbeer und Veronika Weinbeer'''</center> | <center>'''Lösung von Ruth Burkard, Julian Weinbeer und Veronika Weinbeer'''</center> | ||
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;Aufgabe 1 | ;Aufgabe 1 | ||
− | Gegeben ist in einem kartesischen Koordinatensystem des IR<sup>3</sup> die Ebenenschar E<sub>k</sub> : | + | Gegeben ist in einem kartesischen Koordinatensystem des IR<sup>3</sup> die Ebenenschar E<sub>k</sub> : kx<sub>1</sub> + k <sup>2</sup>x<sub>2</sub> + 2x<sub>3</sub>- k<sup>2</sup> = 0 , mit k ∈ IR als Scharparameter. |
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− | '''b)''' Die beiden Ebenen E<sub>2</sub> und E<sub>-3</sub> schneiden sich in einer Geraden g. Ermitteln Sie eine Gleichung von g in Parameterform und den | + | '''b)''' Die beiden Ebenen E<sub>2</sub> und E<sub>-3</sub> schneiden sich in einer Geraden g. Ermitteln Sie eine Gleichung von g in Parameterform und |
+ | :den Schnittwinkel der beiden Ebenen auf eine Dezimale gerundet. | ||
[mögliches Teilergebnis: g: <math>\vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}</math>, λ ∈ IR ] | [mögliches Teilergebnis: g: <math>\vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \end{pmatrix} + \lambda \cdot\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix}</math>, λ ∈ IR ] | ||
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+ | :3. Lösungsweg: aus a) weiß man, dass P und Q auf allen Ebenen liegen; deshalb einen Punkt als Orstvektor nehmen und aus beiden Punkten den Richtungsvektor bestimmen (schnellster Lösungsweg) | ||
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− | '''b)''' Zeigen Sie, dass der Punkt R(3|6|-1) auf dem Schnittkreis k | + | '''b)''' Zeigen Sie, dass der Punkt R(3|6|-1) auf dem Schnittkreis k<sub>s</sub> liegt, und stellen Sie eine Gleichung der Tangentialebene T |
+ | :auf, die die Kugel K im Punkt R berührt. | ||
:[mögliches Teilergebnis: T:x<sub>1</sub>+2x<sub>2</sub>-2x<sub>3</sub>-17=0] | :[mögliches Teilergebnis: T:x<sub>1</sub>+2x<sub>2</sub>-2x<sub>3</sub>-17=0] | ||
:{{Lösung versteckt|1= | :{{Lösung versteckt|1= | ||
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<div align="right"><i>'''4 BE'''</i></div> | <div align="right"><i>'''4 BE'''</i></div> | ||
− | '''c)''' Die Ebene E<sub>-1</sub> und die Tangentialebene an die Kugel K in allen Punkten des Schnittkreises k<sub>s</sub> begrenzen einen geraden Kreiskegel. Berechnen Sie das Volumen dieses Kegels. | + | '''c)''' Die Ebene E<sub>-1</sub> und die Tangentialebene an die Kugel K in allen Punkten des Schnittkreises k<sub>s</sub> begrenzen einen geraden |
+ | :Kreiskegel. Berechnen Sie das Volumen dieses Kegels. | ||
:{{Lösung versteckt|1= | :{{Lösung versteckt|1= | ||
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+ | '''d)''' Zeigen Sie, dass der Punkt U(3|-2|-1) auf der Kugel K und innerhalb des Kreiskegels liegt. | ||
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Aktuelle Version vom 3. März 2010, 17:27 Uhr
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Gegeben ist in einem kartesischen Koordinatensystem des IR3 die Ebenenschar Ek : kx1 + k 2x2 + 2x3- k2 = 0 , mit k ∈ IR als Scharparameter.
a) Ermitteln Sie, für welche Werte von k die Ebene Ek den Punkt P(1|2|-3)und zugleich den Punkt Q(0|1|0) enthält. 4 BE
b) Die beiden Ebenen E2 und E-3 schneiden sich in einer Geraden g. Ermitteln Sie eine Gleichung von g in Parameterform und
[mögliches Teilergebnis: g:
5 BE
4 BE
5 BE
e) Untersuchen Sie, ob die Gerade g aus Teilaufgabe 1b senkrecht auf einer Ebene der Schar Ek steht. 3 BE
Nun ist weiter die Kugel K mit dem Mittelpunkt M(1|2|3) und dem Radius r= 6 gegeben. Die Scharebene E-1 schneidet die Kugel K in einem Kreis ks mit dem Mittelpunkt N und dem Radius rs. a) Berechnen Sie die Koordinaten N und den Radius rs
6 BE
b) Zeigen Sie, dass der Punkt R(3|6|-1) auf dem Schnittkreis ks liegt, und stellen Sie eine Gleichung der Tangentialebene T
4 BE
c) Die Ebene E-1 und die Tangentialebene an die Kugel K in allen Punkten des Schnittkreises ks begrenzen einen geraden
5 BE
d) Zeigen Sie, dass der Punkt U(3|-2|-1) auf der Kugel K und innerhalb des Kreiskegels liegt. 4 BE
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