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Ebene E: x<sub>2</sub> - x<sub>3</sub> - 1 = 0 , die Geradenschar g<sub>k</sub> : <math>\vec x = \begin{pmatrix} -k^2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}</math> und die Gerade h : <math>\vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \mu \cdot\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}</math> gegeben, wobei k, <math>\lambda</math> und <math>\mu</math>  aus <math>\mathbb{R} </math> sind.
 
Ebene E: x<sub>2</sub> - x<sub>3</sub> - 1 = 0 , die Geradenschar g<sub>k</sub> : <math>\vec x = \begin{pmatrix} -k^2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix}</math> und die Gerade h : <math>\vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \mu \cdot\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}</math> gegeben, wobei k, <math>\lambda</math> und <math>\mu</math>  aus <math>\mathbb{R} </math> sind.
  
 
a) Zeigen Sie: Alle Geraden der Schar g<sub>k</sub> sind zueinander parallel und liegen in der Ebene E.  
 
a) Zeigen Sie: Alle Geraden der Schar g<sub>k</sub> sind zueinander parallel und liegen in der Ebene E.  
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b) Begründen Sie, dass die Schar der Geraden g<sub>k</sub> eine Halbebene von E bildet.
 
b) Begründen Sie, dass die Schar der Geraden g<sub>k</sub> eine Halbebene von E bildet.
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d) Projiziert man h senkrecht auf E, so erhält man die Gerade h<sub>E</sub>. Berechnen Sie den Winkel <math>\varphi</math>  zwischen h<sub>E</sub> und h in Grad auf eine Nachkommastelle gerundet.
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Die Ebene E ist Tangentialebene an zwei Kukeln K<sub>1</sub> und K<sub>2</sub> mit dem Radius <math>5\sqrt{2}</math>, deren Mittelpunkte M<sub>1</sub> und M<sub>2</sub> auf der Gerade h liegen.
 
Die Ebene E ist Tangentialebene an zwei Kukeln K<sub>1</sub> und K<sub>2</sub> mit dem Radius <math>5\sqrt{2}</math>, deren Mittelpunkte M<sub>1</sub> und M<sub>2</sub> auf der Gerade h liegen.
  
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a)Bestimmen Sie die Koordinaten von M<sub>1</sub> und M<sub>2</sub> . (Der Punkt mit ausschließlich ganzzahligen Koordinaten wird mit M<sub>1</sub> bezeichnet.)
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b) Die Kugelpunkte P <math>\in</math> K<sub>1</sub> und Q <math>\in \in</math> K<sub>2</sub> sind diejenigen Punkte, die minimale Distanz voneinander haben. Berechnen Sie die Entfernung [PQ] auf zwei Dezimalen gerundet.
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Version vom 25. Februar 2010, 14:29 Uhr


Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2006
Analytische Geometrie V.


Download der Originalaufgaben: Abitur 2008 LK Mathematik Bayern - Lösung gesamt


Erarbeitet von Johannes Brunnquell, Lea Mainberger, Maximilian Benkert


Von „http://rmg.zum.de/index.php?title=LK_Mathematik/Abitur/2006_V&oldid=30142“
Aufgabe 1

In einem kartesischen Koordinatensystem des \mathbb{R} 3 ist die Ebene E: x2 - x3 - 1 = 0 , die Geradenschar gk : \vec x = \begin{pmatrix} -k^2 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + \lambda \cdot\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} und die Gerade h : \vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \mu \cdot\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} gegeben, wobei k, \lambda und \mu aus \mathbb{R} sind.

a) Zeigen Sie: Alle Geraden der Schar gk sind zueinander parallel und liegen in der Ebene E.

3 BE


.

b) Begründen Sie, dass die Schar der Geraden gk eine Halbebene von E bildet.

4 BE


.

c) Für welche Werte von k schneidet gk die Gerade h? Ermitteln Sie die Koordinaten des Schnittpunkts S.

[ Teilergebnis: (2/\frac{5}{3}/\frac{2}{3}) ]

5 BE


.

d) Projiziert man h senkrecht auf E, so erhält man die Gerade hE. Berechnen Sie den Winkel \varphi zwischen hE und h in Grad auf eine Nachkommastelle gerundet.

5 BE


.

</div>

Aufgabe 2

Die Ebene E ist Tangentialebene an zwei Kukeln K1 und K2 mit dem Radius 5\sqrt{2}, deren Mittelpunkte M1 und M2 auf der Gerade h liegen.

a)Bestimmen Sie die Koordinaten von M1 und M2 . (Der Punkt mit ausschließlich ganzzahligen Koordinaten wird mit M1 bezeichnet.) [Teilergebnis: (2/5/-6)]

6 BE


.

b) Die Kugelpunkte P \in K1 und Q \in \in K2 sind diejenigen Punkte, die minimale Distanz voneinander haben. Berechnen Sie die Entfernung [PQ] auf zwei Dezimalen gerundet.

3 BE


.





Fehler beim Parsen(Syntaxfehler): \left( -k