2007 VI: Unterschied zwischen den Versionen

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In einem kartesischen Koordinatensystem des IR<sup>3</sup> ist die Ebenenschar E<sub>t</sub> mit λ, τ є IR und t є IR gegeben. </td></tr></table></center>
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In einem kartesischen Koordinatensystem des IR<sup>3</sup> ist die Ebenenschar E<sub>t</sub> : <math>\vec x = \begin{pmatrix} 0 \\ t \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} + \tau\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} </math> mit λ, τ є IR und t є IR gegeben. </td></tr></table></center>
  
 
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Version vom 21. Februar 2010, 15:43 Uhr


Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2007
Analytische Geometrie VI


Lösungen erstellt von: Johanna Buchner, Isabell Geist und Ann Christin Werner


In einem kartesischen Koordinatensystem des IR3 ist die Ebenenschar Et : \vec x = \begin{pmatrix} 0 \\ t \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda\begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix} + \tau\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} mit λ, τ є IR und t є IR gegeben.


Aufgabe 1

a) Bestimmen Sie eine Gleichung von Et in Normalenform. Begründen Sie, dass alle Ebenen der Schar zueinander parallel sind.

[mögliches Teilergebnis: Et : 2x1 + x2 - 2x3 - t = 0]


b) Berechnen Sie den Winkel φ, unter dem jede Ebene der Schar Et die x1x2-Ebene schneidet, auf eine Dezimale gerundet.


c) Die Ebene L enthält die x2-Achse und ist Lotebene zur Ebene Et. Ermitteln Sie eine Gleichung von L in Normalenform und geben Sie eine Gleichung der Schnittgeraden st von L und Et in Parameterform an.

[mögliches Teilergebnis: L: x1 + x3 = 0]


Aufgabe 2

Die Ebene Et schneidet die x1-Achse im Punkt At, die x2-Achse im Punkt Bt und die x3-Achse im Punkt Ct. Diese Punkte und der Ursprung O sind für t ≠ 0 die Ecken einer Pyramide IIt.


a) Berechnen Sie die Koordinaten der Punkte At, Bt und Ct und zeichnen Sie in einem Koordinatensystem für t = -8 die Pyramide II-8 ein.

[Teilergebnis: At (0,5t|0|0); Bt (0|t|0); Ct (0|0|-0,5t)]


b) Zeigen Sie, dass die Pyramide IIt den Oberflächeninhalt t2 besitzt, und ermitteln Sie das Volumen Vt von IIt in Abhängigkeit von t.


c) Die Ebene F : 2x2 = t liegt parallel zu einer Seitenfläche und zerlegt IIt in zwei Teilkörper. Berechnen Sie das Verhältnis der Volumina.


d) Zeigen Sie, dass die Kugel K mit dem Mittelpunkt Nt (\frac{t}{8} |\frac{t}{8} |\frac{-t}{8} ) und dem Radius ρt = \frac{|t|}{8} die Inkugel der Pyramide IIt ist, also alle Begrenzungsflächen von IIt von innen berührt.


e) Die Ecken der Pyramide IIt liegen auf einer Kugel (Umkugel) mit dem Mittelpunkt M (m1|m2|m3) und dem Radius r.

Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dass gilt: m2 = \frac{t}{2}.

Geben Sie m1 sowie m3 an und berechnen Sie r.


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