2008 I: Unterschied zwischen den Versionen

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Gegeben ist die Funktion <math>f:x\rightarrow \frac{ln(x^2)}{x}</math> Df = IR \ {0}. Der Graph von f
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wird mit Gf bezeichnet.
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Gegeben ist die Funktion <math>f:x\rightarrow \frac{ln(x^2)}{x}</math> D<sub>f</sub> = IR \ {0}. Der Graph von f
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wird mit G<sub>f</sub> bezeichnet.
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a) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von G<sub>f</sub>. Bestimmen Sie die Nullstellen von f und das Verhalten von f an den Rändern des
 
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b) Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte von Gf mit waagrechter Tangente und skizzieren Sie Gf unter Verwendung der bisherigen
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b) Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte von G<sub>f</sub> mit waagrechter Tangente und skizzieren Sie G<sub>f</sub> unter Verwendung der bisherigen
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c) Zeigen Sie, dass für alle u >1 gilt: <math>\int_{\frac{1}{u} }^{u} f(x)\,dx=0</math> . Interpretieren Sie das Ergebnis der Integration am Graphen von f. (7 BE)<br />
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* Die folgende Überlegung gilt nur für x>0!
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Betrachtet wird die Funktion K mit dem Term <math>K(v)=\frac{v}{\frac{v^2}{2a}+tv+s }</math>, v ∈ IR + , und den positiven Parametern a, t und s.
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Betrachtet wird die Funktion K mit dem Term <math>K(v)=\frac{v}{\frac{v^2}{2a}+tv+s }</math>, v ∈ IR<sup>+</sup>, und den positiven Parametern a, t und s.
 
K beschreibt in einem idealisierten Modell die sogenannte Kapazität einspuriger Straßen, das ist die Anzahl der Fahrzeuge, die bei genauer Einhaltung des Sicherheitsabstandes pro Zeiteinheit eine bestimmte Stelle passieren können. In diesem Modell wird vereinfachend angenommen, dass alle Fahrzeuge mit der gleichen Geschwindigkeit v fahren und außerdem die Parameter a (Bremsverzögerung), t (Reaktionszeit des Fahrers) und s (Fahrzeuglänge) für alle Fahrzeuge der Kolonne gleich sind.
 
K beschreibt in einem idealisierten Modell die sogenannte Kapazität einspuriger Straßen, das ist die Anzahl der Fahrzeuge, die bei genauer Einhaltung des Sicherheitsabstandes pro Zeiteinheit eine bestimmte Stelle passieren können. In diesem Modell wird vereinfachend angenommen, dass alle Fahrzeuge mit der gleichen Geschwindigkeit v fahren und außerdem die Parameter a (Bremsverzögerung), t (Reaktionszeit des Fahrers) und s (Fahrzeuglänge) für alle Fahrzeuge der Kolonne gleich sind.
  
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d) Die drei Diagramme (I), (II) und (III) zeigen den Verlauf von Schargraphen
 
d) Die drei Diagramme (I), (II) und (III) zeigen den Verlauf von Schargraphen
 
der Funktion K. In jedem dieser Diagramme variiert genau einer der Parameter a, t und s, während die anderen beiden Parameter konstant bleiben. Geben Sie für jedes der drei Diagramme an, welcher der Parameter variiert. Begründen Sie Ihre Antwort, z. B. mit Hilfe der Ergebnisse der Teilaufgaben 2b und 2c. (5 BE)
 
der Funktion K. In jedem dieser Diagramme variiert genau einer der Parameter a, t und s, während die anderen beiden Parameter konstant bleiben. Geben Sie für jedes der drei Diagramme an, welcher der Parameter variiert. Begründen Sie Ihre Antwort, z. B. mit Hilfe der Ergebnisse der Teilaufgaben 2b und 2c. (5 BE)
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Aktuelle Version vom 17. Februar 2010, 11:21 Uhr


Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2008
Infinitesimalrechnung I


Download der Originalaufgaben: Abitur 2008 LK Mathematik Bayern - Lösung gesamt
Erarbeitet von Sebastian Waldhäuser & Daniel Greb


Aufgabe 1

Gegeben ist die Funktion f:x\rightarrow \frac{ln(x^2)}{x} Df = IR \ {0}. Der Graph von f wird mit Gf bezeichnet.

a) Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten von Gf. Bestimmen Sie die Nullstellen von f und das Verhalten von f an den Rändern des Definitionsbereichs. (6 BE)

ABI 2008 I 1a Lös.jpg


b) Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte von Gf mit waagrechter Tangente und skizzieren Sie Gf unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse in ein Koordinatensystem. (7 BE)

ABI 2008 I 1b Lös.jpg

Skizze

ABI 2008 I 1bSkizze Lös.jpg

c) Zeigen Sie, dass für alle u >1 gilt: \int_{\frac{1}{u} }^{u} f(x)\,dx=0 . Interpretieren Sie das Ergebnis der Integration am Graphen von f. (7 BE)


ABI 2008 I 1c Lös.jpg

Skizze

ABI 2008 I 1cSkizze Lös.jpg


Aufgabe 2

Betrachtet wird die Funktion K mit dem Term K(v)=\frac{v}{\frac{v^2}{2a}+tv+s }, v ∈ IR+, und den positiven Parametern a, t und s. K beschreibt in einem idealisierten Modell die sogenannte Kapazität einspuriger Straßen, das ist die Anzahl der Fahrzeuge, die bei genauer Einhaltung des Sicherheitsabstandes pro Zeiteinheit eine bestimmte Stelle passieren können. In diesem Modell wird vereinfachend angenommen, dass alle Fahrzeuge mit der gleichen Geschwindigkeit v fahren und außerdem die Parameter a (Bremsverzögerung), t (Reaktionszeit des Fahrers) und s (Fahrzeuglänge) für alle Fahrzeuge der Kolonne gleich sind.

a)Bestimmen Sie die Grenzwerte von K(v) für v\rightarrow 0 und v\rightarrow \infty . (3 BE)

ABI 2008 I 2a Lös.jpg


b) Zeigen Sie, dass K(v) für v=v_{max}=\sqrt{2as} maxmal wird. Berechnen sie v_{max} in \frac{km}{h} für a=4,0\frac{m}{s^2} (Regennasse Fahrbahn)und s=4,5m . (8 BE)

ABI 2008 I 2b Lös.jpg


c)Begründen Sie am Term K(v) , dass die Kapazität bei zunehmender Fahrzeuglänge s abnimmt, wenn v, a und t konstant bleiben. Begründen Sie ebenfalls am Term, dass die Kapazität zunimmt, wenn die Bremsverzögerung a zunimmt und v, t und s konstant bleiben. Erläutern Sie letztere Aussage im Anwendungszusammenhang. (4 BE)

ABI 2008 I 2c Lös.jpg


d) Die drei Diagramme (I), (II) und (III) zeigen den Verlauf von Schargraphen der Funktion K. In jedem dieser Diagramme variiert genau einer der Parameter a, t und s, während die anderen beiden Parameter konstant bleiben. Geben Sie für jedes der drei Diagramme an, welcher der Parameter variiert. Begründen Sie Ihre Antwort, z. B. mit Hilfe der Ergebnisse der Teilaufgaben 2b und 2c. (5 BE)
Diagramme: 

I                                 II                                  III

ABI 2008 I 2d I.jpg ABI 2008 I 2d II.jpg ABI 2008 I 2d III.jpg


ABI 2008 I 2d Lös.jpg


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