2009 I: Unterschied zwischen den Versionen
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− | + | <center><table border="0" width="800px" cellpadding=5 cellspacing=15> | |
− | + | <tr><td width="800px" valign="top"> | |
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− | + | <center><big>'''Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2009'''</big></center> | |
− | + | <center><big>'''Infinitesimalrechnung I'''</big></center> | |
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− | + | <center>[http://www.isb.bayern.de/isb/download.aspx?DownloadFileID=79e69371e73c4c671417483e9427e728 '''Download der Originalaufgaben: Abitur 2009 LK Mathematik Bayern'''] - [[Media:LKM Abi 2009 I lös.doc|Lösungen zum Ausdrucken]] </center> | |
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− | + | ;Aufgabe 1 | |
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− | + | Gegeben ist die Schar der Funktionen <math>f_k : x \mapsto \frac{x}{k + x^2}</math> mit k ∈ IR<sup>+</sup> und | |
+ | der Definitionsmenge IR . Der Graph von f<sub>k</sub> wird mit G<sub>k</sub> bezeichnet. | ||
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+ | a) Untersuchen Sie G<sub>k</sub> auf Symmetrie und geben Sie das Verhalten von f<sub>k</sub> für x → −∞ und x → +∞ an. | ||
:{{Lösung versteckt|1= | :{{Lösung versteckt|1= | ||
− | [[Bild: | + | [[Bild:ABI_2009_I_A1a_Lös.jpg|700px]] |
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− | + | b) Bestimmen Sie Art und Lage der Extrempunkte von G<sub>k</sub> . Die Hochpunkte von G<sub>k</sub> bilden den Graphen einer Funktion h. Ermitteln Sie Funktionsterm und Definitionsmenge von h. [Teilergebnis: Hochpunkt bei x = k ] | |
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:{{Lösung versteckt|1= | :{{Lösung versteckt|1= | ||
− | [[Bild: | + | [[Bild:ABI_2009_I_A1b_Lös.jpg|700px]] |
}} | }} | ||
− | + | c) Zeigen Sie, dass zwei verschiedene Graphen der Schar nur den Koordinatenursprung gemeinsam haben. | |
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− | Sie | + | |
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:{{Lösung versteckt|1= | :{{Lösung versteckt|1= | ||
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+ | d) Skizzieren Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse die Graphen G<sub>k</sub> für k = 0,25 und k =1 in ein gemeinsames Koordinatensystem (Längeneinheit 2 cm). Zeichnen Sie auch den Graphen von h ein. | ||
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+ | e) Für jedes k begrenzt G<sub>k</sub> mit der x-Achse im I. Quadranten ein Flächenstück, das sich ins Unendliche erstreckt. Zeigen Sie, dass dieses Flächenstück keinen endlichen Inhalt besitzt. Für beliebige positive k<sub>1</sub>, k<sub>2</sub> (k<sub>1</sub> ≠ k<sub>2</sub>) begrenzen G<sub>k<sub>1</sub></sub> und G<sub>k<sub>2</sub></sub> im I. Quadranten ein Flächenstück, das sich ebenfalls ins Unendliche erstreckt. Zeigen Sie, dass dieses Flächenstück einen endlichen Inhalt | ||
+ | hat, und geben Sie diesen an. | ||
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+ | [[Bild:ABI_2009_I_A1e_Lös.jpg|700px]] | ||
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+ | <center><table border="0" width="800px" cellpadding=5 cellspacing=15> | ||
+ | <tr><td width="800px" valign="top"> | ||
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+ | ;Aufgabe 2 | ||
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+ | Nun wird die Schar der Funktionen <math>f_k : x \mapsto \frac{x}{k + x^2}</math> mit k ∈ IR<sup>-</sup><sub>0</sub> betrachtet. Geben Sie die maximale Definitionsmenge D<sub>k</sub> von f<sub>k</sub> in | ||
+ | Abhängigkeit von k an. | ||
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+ | Zeigen Sie, dass an den Definitionslücken Polstellen vorliegen. Hat f<sub>k</sub> an den Polstellen einen Vorzeichenwechsel? Begründen Sie Ihre Antwort. | ||
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+ | <tr><td width="800px" valign="top"> | ||
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+ | ;Aufgabe 3 | ||
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+ | a) Die drei folgenden Abbildungen zeigen Halbkreise mit Radius r und Mittelpunkten (0|0), (0|r) und (r|0) . Begründen Sie, dass der Halbkreis in Bild 1 Graph der Funktion <math>f_1 : x \mapsto \sqrt{r^2-x^2}</math> mit − r ≤ x ≤ r ist. | ||
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+ | Die Halbkreise der Bilder 2 und 3 sind Graphen der Funktionen f<sub>2</sub> und f<sub>3</sub> . Geben Sie jeweils Term und Definitionsmenge für f<sub>2</sub> und f<sub>3</sub> an. | ||
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+ | b) Ein kugelförmiger Tank hat den Innenradius r und ist mit einer Flüssigkeit gefüllt. Die Höhe der | ||
+ | eingefüllten Flüssigkeit ist h. Zeigen Sie mit Hilfe der Integralrechnung, dass für das Volumen V der | ||
+ | eingefüllten Flüssigkeit gilt: <math>V = \pi(r h^2 - \frac{1}{3}h^3)</math> | ||
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+ | :{{Lösung versteckt|1= | ||
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+ | [[Bild:ABI_2009_I_A3_Lös.jpg|700px]] | ||
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Aktuelle Version vom 4. Februar 2010, 20:54 Uhr
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Gegeben ist die Schar der Funktionen
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Nun wird die Schar der Funktionen Zeigen Sie, dass an den Definitionslücken Polstellen vorliegen. Hat fk an den Polstellen einen Vorzeichenwechsel? Begründen Sie Ihre Antwort. |
a) Die drei folgenden Abbildungen zeigen Halbkreise mit Radius r und Mittelpunkten (0|0), (0|r) und (r|0) . Begründen Sie, dass der Halbkreis in Bild 1 Graph der Funktion Die Halbkreise der Bilder 2 und 3 sind Graphen der Funktionen f2 und f3 . Geben Sie jeweils Term und Definitionsmenge für f2 und f3 an.
b) Ein kugelförmiger Tank hat den Innenradius r und ist mit einer Flüssigkeit gefüllt. Die Höhe der
eingefüllten Flüssigkeit ist h. Zeigen Sie mit Hilfe der Integralrechnung, dass für das Volumen V der
eingefüllten Flüssigkeit gilt: |