2009 I: Unterschied zwischen den Versionen

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Gegeben ist die Schar der Funktionen <math>f_k : x \mapsto \frac{x}{k + x^2}</math>  mit k ∈ IR<sup>+</sup> und
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der Definitionsmenge IR . Der Graph von f<sub>k</sub> wird mit G<sub>k</sub> bezeichnet.
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a) Untersuchen Sie G<sub>k</sub> auf Symmetrie und geben Sie das Verhalten von f<sub>k</sub> für x → −∞ und x → +∞ an.
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b) Bestimmen Sie Art und Lage der Extrempunkte von G<sub>k</sub> . Die Hochpunkte von G<sub>k</sub> bilden den Graphen einer Funktion h. Ermitteln Sie Funktionsterm und Definitionsmenge von h. [Teilergebnis: Hochpunkt bei x = k ]
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d) Skizzieren Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse die Graphen G<sub>k</sub> für k = 0,25 und k =1 in ein gemeinsames Koordinatensystem (Längeneinheit 2 cm). Zeichnen Sie auch den Graphen von h ein.
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e) Für jedes k begrenzt G<sub>k</sub> mit der x-Achse im I. Quadranten ein Flächenstück, das sich ins Unendliche erstreckt. Zeigen Sie, dass dieses Flächenstück keinen endlichen Inhalt besitzt. Für beliebige positive k<sub>1</sub>, k<sub>2</sub> (k<sub>1</sub> ≠ k<sub>2</sub>) begrenzen G<sub>k<sub>1</sub></sub> und G<sub>k<sub>2</sub></sub> im I. Quadranten ein Flächenstück, das sich ebenfalls ins Unendliche erstreckt. Zeigen Sie, dass dieses Flächenstück einen endlichen Inhalt
 
hat, und geben Sie diesen an.
 
hat, und geben Sie diesen an.
  
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;Aufgabe 2
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Nun wird die Schar der Funktionen <math>f_k : x \mapsto \frac{x}{k + x^2}</math>  mit k ∈ IR<sup>-</sup><sub>0</sub> betrachtet. Geben Sie die maximale Definitionsmenge D<sub>k</sub> von f<sub>k</sub> in
 
Abhängigkeit von k an.
 
Abhängigkeit von k an.
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Zeigen Sie, dass an den Definitionslücken Polstellen vorliegen. Hat fk an
 
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den Polstellen einen Vorzeichenwechsel? Begründen Sie Ihre Antwort.
 
  
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==Aufgabe 3==
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Zeigen Sie, dass an den Definitionslücken Polstellen vorliegen. Hat f<sub>k</sub> an den Polstellen einen Vorzeichenwechsel? Begründen Sie Ihre Antwort.
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a) Die drei folgenden Abbildungen zeigen Halbkreise mit Radius r und
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Mittelpunkten (0 | 0), (0 | r) und (r | 0) . Begründen Sie, dass der
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Halbkreis in Bild 1 Graph der Funktion 2 2
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− r ≤ x ≤ r ist. Die Halbkreise der Bilder 2 und 3 sind Graphen der
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Funktionen f2 und f3 . Geben Sie jeweils Term und Definitionsmenge
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für f2 und f3 an.
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;Aufgabe 3
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a) Die drei folgenden Abbildungen zeigen Halbkreise mit Radius r und Mittelpunkten (0|0), (0|r) und (r|0) . Begründen Sie, dass der Halbkreis in Bild 1 Graph der Funktion <math>f_1 : x \mapsto \sqrt{r^2-x^2}</math>  mit − r ≤ x ≤ r ist.  
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Die Halbkreise der Bilder 2 und 3 sind Graphen der Funktionen f<sub>2</sub> und f<sub>3</sub> . Geben Sie jeweils Term und Definitionsmenge für f<sub>2</sub> und f<sub>3</sub> an.
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b) Ein kugelförmiger Tank hat den Innenradius r und ist mit einer Flüssigkeit gefüllt. Die Höhe der
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eingefüllten Flüssigkeit ist h. Zeigen Sie mit Hilfe der Integralrechnung, dass für das Volumen V der
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eingefüllten Flüssigkeit gilt: <math>V = \pi(r h^2 - \frac{1}{3}h^3)</math>
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Flüssigkeit gefüllt. Die Höhe der
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Sie mit Hilfe der Integralrechnung,
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eingefüllten Flüssigkeit gilt:
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Aktuelle Version vom 4. Februar 2010, 20:54 Uhr


Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2009
Infinitesimalrechnung I


Download der Originalaufgaben: Abitur 2009 LK Mathematik Bayern - Lösungen zum Ausdrucken


Aufgabe 1

Gegeben ist die Schar der Funktionen f_k : x \mapsto \frac{x}{k + x^2} mit k ∈ IR+ und der Definitionsmenge IR . Der Graph von fk wird mit Gk bezeichnet.


a) Untersuchen Sie Gk auf Symmetrie und geben Sie das Verhalten von fk für x → −∞ und x → +∞ an.

[Lösung anzeigen]


b) Bestimmen Sie Art und Lage der Extrempunkte von Gk . Die Hochpunkte von Gk bilden den Graphen einer Funktion h. Ermitteln Sie Funktionsterm und Definitionsmenge von h. [Teilergebnis: Hochpunkt bei x = k ]

[Lösung anzeigen]


c) Zeigen Sie, dass zwei verschiedene Graphen der Schar nur den Koordinatenursprung gemeinsam haben.

[Lösung anzeigen]


d) Skizzieren Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse die Graphen Gk für k = 0,25 und k =1 in ein gemeinsames Koordinatensystem (Längeneinheit 2 cm). Zeichnen Sie auch den Graphen von h ein.

[Lösung anzeigen]


e) Für jedes k begrenzt Gk mit der x-Achse im I. Quadranten ein Flächenstück, das sich ins Unendliche erstreckt. Zeigen Sie, dass dieses Flächenstück keinen endlichen Inhalt besitzt. Für beliebige positive k1, k2 (k1 ≠ k2) begrenzen Gk1 und Gk2 im I. Quadranten ein Flächenstück, das sich ebenfalls ins Unendliche erstreckt. Zeigen Sie, dass dieses Flächenstück einen endlichen Inhalt hat, und geben Sie diesen an.

[Lösung anzeigen]


Aufgabe 2

Nun wird die Schar der Funktionen f_k : x \mapsto \frac{x}{k + x^2} mit k ∈ IR-0 betrachtet. Geben Sie die maximale Definitionsmenge Dk von fk in Abhängigkeit von k an.

Zeigen Sie, dass an den Definitionslücken Polstellen vorliegen. Hat fk an den Polstellen einen Vorzeichenwechsel? Begründen Sie Ihre Antwort.

[Lösung anzeigen]


Aufgabe 3

a) Die drei folgenden Abbildungen zeigen Halbkreise mit Radius r und Mittelpunkten (0|0), (0|r) und (r|0) . Begründen Sie, dass der Halbkreis in Bild 1 Graph der Funktion f_1 : x \mapsto \sqrt{r^2-x^2} mit − r ≤ x ≤ r ist.

Die Halbkreise der Bilder 2 und 3 sind Graphen der Funktionen f2 und f3 . Geben Sie jeweils Term und Definitionsmenge für f2 und f3 an.


b) Ein kugelförmiger Tank hat den Innenradius r und ist mit einer Flüssigkeit gefüllt. Die Höhe der eingefüllten Flüssigkeit ist h. Zeigen Sie mit Hilfe der Integralrechnung, dass für das Volumen V der eingefüllten Flüssigkeit gilt: V = \pi(r h^2 - \frac{1}{3}h^3)

[Lösung anzeigen]


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