2009 VI: Unterschied zwischen den Versionen
(layout) |
|||
Zeile 1: | Zeile 1: | ||
+ | [http://www.isb.bayern.de/isb/download.aspx?DownloadFileID=79e69371e73c4c671417483e9427e728 ''download'' '''Abitur 2009 LK Mathematik Bayern'''] | ||
+ | |||
== '''VI.''' == | == '''VI.''' == | ||
Zeile 4: | Zeile 6: | ||
Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem des IR<sup>3</sup> die | Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem des IR<sup>3</sup> die | ||
− | |||
− | |||
− | |||
+ | Ebene F, die parallel zur x<sub>3</sub>-Achse ist und die Punkte A(-2/1,5/6) und | ||
+ | |||
+ | B(0/3/0) enthält, sowie die Ebenenschar E<sub>a</sub>: 2x<sub>1</sub>+2x<sub>2</sub>+x<sub>3</sub>-a=0 mit a ∈ IR. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | a) Berechnen Sie eine Gleichung der Ebene F in Normalenform. | ||
+ | |||
+ | :[Zur Kontrolle: F: 3x<sub>1</sub>-4x<sub>2</sub>+12=0] | ||
− | |||
− | |||
{{Lösung versteckt| | {{Lösung versteckt| | ||
− | [[Bild: | + | [[Bild:ABI_2009_VI_a_Lös.jpg]] |
− | }} | + | }} |
− | b) | + | |
− | + | ||
− | + | b) Die Kugel K mit dem Mittelpunkt M(3/-1/0) berührt die Ebene F. | |
+ | |||
+ | :Berechnen Sie die Koordinaten des Berührpunkts und den Radius r der Kugel. | ||
+ | |||
+ | :[Teilergebnis: r=5] | ||
+ | |||
{{Lösung versteckt| | {{Lösung versteckt| | ||
− | [[Bild: | + | [[Bild:ABI_2009_VI_b_Lös.jpg]] |
− | }} | + | }} |
− | c) | + | |
− | + | ||
− | + | c) Die Punktspiegelung der Kugel K am Punkt A ergibt die Kugel K´. | |
− | + | ||
+ | :Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts M´ der Kugel K´ und | ||
+ | |||
+ | :geben Sie deren Radius r´ an. | ||
+ | |||
+ | :[Teilergebnis: M´(-7/4/12)] | ||
+ | |||
{{Lösung versteckt| | {{Lösung versteckt| | ||
− | [[Bild: | + | [[Bild:ABI_2009_VI_c_Lös.jpg]] |
− | }} | + | }} |
− | d) | + | |
− | + | ||
+ | d) Zeigen Sie, dass die Ebenen E<sub>13</sub> und E<sub>-3</sub> symmetrisch bezüglich des | ||
+ | |||
+ | Punktes A liegen, und berechnen Sie den Abstand dieser beiden Ebenen. | ||
+ | |||
{{Lösung versteckt| | {{Lösung versteckt| | ||
− | [[Bild: | + | [[Bild:ABI_2009_VI_d_Lös.jpg]] |
− | }} | + | }} |
− | e) | + | |
− | + | ||
− | + | e) Die Ebene E<sub>13</sub> schneidet die Kugel K in einem Kreis. Berechnen Sie den | |
− | + | ||
+ | Mittelpunkt N und den Radius p dieses Kreises. Warum hat der Schnitt- | ||
+ | |||
+ | kreis von E<sub>-3</sub> mit der Kugel K´ ebenfalls den Radius p? | ||
+ | |||
+ | [Teilergebnis: N(5/1/1) ] | ||
+ | |||
{{Lösung versteckt| | {{Lösung versteckt| | ||
− | [[Bild: | + | [[Bild:ABI_2009_VI_e_Lös.jpg]] |
− | }} | + | }} |
− | f) | + | |
− | + | ||
− | + | f) Die Kreise aus Teilaufgabe e bilden die Grund- und die Deckfläche eines | |
− | + | ||
+ | schiefen Zylinders. Berechnen Sie das Volumen dieses schiefen | ||
+ | |||
+ | Zylinders und den Winkel <math>varpi</math> , um den die Zylinderachse gegen die | ||
+ | |||
+ | Grundfläche geneigt ist. | ||
+ | |||
{{Lösung versteckt| | {{Lösung versteckt| | ||
− | [[Bild: | + | [[Bild:ABI_2009_VI_f_Lös.jpg]] |
− | }} | + | }} |
− | g) | + | |
− | + | ||
− | + | g) In welcher Ebene der Schar E<sub>a</sub> liegt der Punkt M´? | |
+ | |||
+ | Für welche Werte des Scharparameters a schneiden sich die Kugel K´ | ||
+ | |||
+ | und die Ebene E<sub>a</sub> in einem Kreis? | ||
+ | |||
{{Lösung versteckt| | {{Lösung versteckt| | ||
− | [[Bild: | + | [[Bild:ABI_2009_VI_g_Lös.jpg]] |
− | }} | + | }} |
Version vom 2. Februar 2010, 03:55 Uhr
download Abitur 2009 LK Mathematik Bayern
VI.
Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem des IR3 die
Ebene F, die parallel zur x3-Achse ist und die Punkte A(-2/1,5/6) und
B(0/3/0) enthält, sowie die Ebenenschar Ea: 2x1+2x2+x3-a=0 mit a ∈ IR.
a) Berechnen Sie eine Gleichung der Ebene F in Normalenform.
- [Zur Kontrolle: F: 3x1-4x2+12=0]
b) Die Kugel K mit dem Mittelpunkt M(3/-1/0) berührt die Ebene F.
- Berechnen Sie die Koordinaten des Berührpunkts und den Radius r der Kugel.
- [Teilergebnis: r=5]
c) Die Punktspiegelung der Kugel K am Punkt A ergibt die Kugel K´.
- Bestimmen Sie die Koordinaten des Mittelpunkts M´ der Kugel K´ und
- geben Sie deren Radius r´ an.
- [Teilergebnis: M´(-7/4/12)]
d) Zeigen Sie, dass die Ebenen E13 und E-3 symmetrisch bezüglich des
Punktes A liegen, und berechnen Sie den Abstand dieser beiden Ebenen.
e) Die Ebene E13 schneidet die Kugel K in einem Kreis. Berechnen Sie den
Mittelpunkt N und den Radius p dieses Kreises. Warum hat der Schnitt-
kreis von E-3 mit der Kugel K´ ebenfalls den Radius p?
[Teilergebnis: N(5/1/1) ]
f) Die Kreise aus Teilaufgabe e bilden die Grund- und die Deckfläche eines
schiefen Zylinders. Berechnen Sie das Volumen dieses schiefen
Zylinders und den Winkel , um den die Zylinderachse gegen die
Grundfläche geneigt ist.
g) In welcher Ebene der Schar Ea liegt der Punkt M´?
Für welche Werte des Scharparameters a schneiden sich die Kugel K´
und die Ebene Ea in einem Kreis?